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#s/maths/intégration 

> [!proposition]+ 
> $\displaystyle \int_{\mathbb{R}} e^{ itx } \frac{1}{\pi} \frac{1}{1+x^{2}} \, dx = e^{ -|t| }$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soient $(u, x) \in \mathbb{R}^{2}$ on pose, avec $a > 0$ :
> > $f_{t}(u, x) = e^{ i(u+x)t } e^{ -|u| } e^{ -a|x| }$
> > Peut-on intégrer $f_{t}$ par rapport à $\lambda _{2}$ ?
> > $$\begin{align}
> > \int_{\mathbb{R}^{2}} |f_{t}| \, d\lambda _{2} &= \int_{\mathbb{R}^{2}} e^{ -|u| } \, dudx  \\
> > &= \int_{\mathbb{R}} \left( \int_{\mathbb{R}} e^{ -|u| }e^{ -a|x| } \, du  \right) \, dx \\
> > &= \int_{\mathbb{R}} e^{ -a|x| } \cdot \left( \int_{\mathbb{R}} e^{ -|u| } \, du  \right) \, dx \\
> > &= \left( \int_{\mathbb{R}} e^{ -a|x| } \, dx \right) \left( \int_{\mathbb{R}} e^{ -|u| } \, du  \right) \\
> > &= \left( 2 \int_{\mathbb{R}^{+}} e^{ -ax } \, dx  \right) \left( 2 \int_{\mathbb{R}^{+}} e^{ -u } \, du  \right) \\
> > &= \frac{2}{a} \times 2 = \frac{4}{a} \\
> > &< +\infty
> > \end{align}$$
> > Donc $f_{t}$ est $\lambda_2$-intégrable.
> > 
> > On calcule maintenant effectivement cette intégrale. En utilisant le [[théorème de Fubini]] on obtient :
> > $$\begin{align} 
> > \int_{\mathbb{R}^{2}} f_{t}(u, x) \, dxdu &= \int_{\mathbb{R}} e^{ ixt }e^{ -a|x| } \left( \int_{\mathbb{R}} e^{ iux }e^{ -|u| } \, du  \right) \, dx = \int\mathbb{R} e^{ itx }e^{ -a|x| } \frac{1}{1+x} \, dx \\
> > &= \int_{\mathbb{R}} e^{ -|u| } \left( \int_{\mathbb{R}} e^{ i(u+t)x } e^{ -a|x| } \, dx  \right) \, du = \int_{\mathbb{R}} e^{ -|u| } \frac{a}{a^{2} + (t+u)^{2}} \, du 
> > \end{align}$$
> > Donc :
> > $$\begin{align} 
> > I(a) &= \int_{\mathbb{R}} e^{ itx } e^{ -a|x| } \, dx \\
> > &= \int_{\mathbb{R}} e^{ -|u| } \frac{a}{a^{2}+(t+u)^{2}} \, du \\
> > &= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{ -|ax - t| } \frac{a}{a^{2}+(as)^{2}} a \, ds & \text{par changement de variable } s = \frac{t+u}{a} \\
> > &= \int_{\mathbb{R}} e^{ -|as-t| } \frac{1}{1+s^{2}} \, ds = J(a)
> > \end{align}$$
> > 
> > Cependant, le changement de variable ne fonctionne que si $a \neq 0$. Vérifions donc que $I = J$ aussi en $0$.
> > On utilise le [[théorème de convergence dominée]] :
> > Soit $(a_{n}) \in (\mathbb{R}_{+}^{*})^{\mathbb{N}}$ une suite telle que $a_{n} \xrightarrow{n \to +\infty} 0$
> > - $\underbrace{e^{ itx } e^{ -a_{n}|x| } \frac{1}{1+x^{2}}}_{f_{n}(x)} \xrightarrow{n \to +\infty} \underbrace{e^{ itx } \frac{1}{1+x^{2}}}_{f(x)}$
> > Donc $f_{n} \xrightarrow{n \to +\infty} f$
> > - $\left| e^{ itx }e^{ -a|x| } \frac{1}{1+x^{2}} \right| \leq e^{ -a|x| } \frac{1}{1+x^{2}} \leq \frac{1}{1+x^{2}}$ qui est intégrable sur $\mathbb{R}$
> > Donc $f_{n}$ est dominée par une fonction intégrable
> > 
> > Ainsi, d'après le [[théorème de convergence dominée]], on sait que $\lim\limits_{ n \to \infty } \int_{\mathbb{R}} f_{n}(x) \, dx = \int_{\mathbb{R}} \lim\limits_{ n \to \infty } f_{n}(x) \, dx = \int_{\mathbb{R}} f(x) \, dx$
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