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- "[[bijection]]"
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- "[[application continue|continue]]"
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tags:
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- s/maths/analyse
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- s/maths/topologie
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> [!definition] Définition
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> Soient $A \subset E$ et $A' \subset F$ deux ensembles
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> On dit que $f : A \to A'$ est un **homéomorphisme** si :
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> - $f$ est [[bijection|bijective]]
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> - $f$ est [[application continue|continue]]
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> - $f^{-1}$ (la [[application réciproque|réciproque]] de $f$) est [[application continue|continue]]
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+
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> Soit $f : K \to K'$ une [[bijection|application bijective]] et [[application continue|continue]] sur un [[espace métrique compact|compact]] $K$
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> Alors $f$ est un homéomorphisme de $K$ sur $K'$
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> Et $K'$ est également compact.
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Le fait que $K'$ soit compact découle de :
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> > - la compacité de $K$
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> > - la continuité de $f$
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> > - la surjectivité de $f$
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> >
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> > On veut maintenant montrer que $f^{-1}$ est continue.
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> > Soit $y \in K'$ et soit $(y_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in K'^{\mathbb{N}}$ avec $y_{n} \xrightarrow{n \to \infty} y$
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> > On veut montrer que la suite $(x_{n})$ définie par $x_{n} = f^{-1}(y_{n})$, converge vers $x := f^{-1}(y)$
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> > Comme les $x_{n}$ appartiennent à $K$ qui est compact, la suite $(x_{n})$ admet une sous-suite convergent, c'est-à-dire :
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> > $\exists \varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \text{ strictement croissante },\quad \exists l \in K,\quad x_{\varphi(n)} \xrightarrow{n \to \infty} l$
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> > Or : $y_{\varphi(n)} \xrightarrow{n \to \infty} y$ car $y_{n} \xrightarrow{n \to \infty} y$
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> > ainsi $y_{\varphi(n)} = f(x_{\varphi(n)}) \xrightarrow{n \to \infty} f(l)$ car $x_{\varphi(n)} \xrightarrow{n \to \infty} x$ et $f$ est continue
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> > Donc, par unicité de la limite, on a $f(l) = y$, on encore $l = f^{-1}(y)$
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> > c'est-à-dire $l = x$
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> >
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> > On a montré que $x$ est valeur d'adhérence de $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ et même que c'est sa seule valeur d'adhérence.
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> > Donc, comme $K$ est compact, la suite $x_{n}$ converge tout entière vers cette unique valeur d'adhérence $x$
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> >
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> > Supposons par l'absurde que la suite $(x_{n})$ ne converge pas vers $x$, càd. :
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> > $\exists \varepsilon >0,\quad \forall N \in \mathbb{N},\quad \|x_{p} - x\| \geq \varepsilon$
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> > Autrement dit, $\exists \varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \text{ strictement croissante },\quad \forall n \in \mathbb{N},\quad \|x_{\varphi(n)} - x\| \geq \varepsilon$
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> > Comme $(x_{\varphi(n)}) \subset K$ compact, je peux extraire de $(x_{\varphi(n)})$ une sous-suite $(x_{\varphi \circ \psi(n)})$ convergente.
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> > Or, $(x_{\varphi \circ \psi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ est une sous suite de $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$, donc sa limite ne peut être que $x$, ce qui contrdit le fait que $\forall n \in \mathbb{N},\quad \|x_{\varphi \circ \psi(n)}\| \geq \varepsilon > 0$.
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> >
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> [!proposition]+ différentielle d'un homéomorphisme
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> Soient $\Omega \subset E$ et $\Omega' \subset F$ deux [[partie ouverte d'un espace métrique|ouverts]]
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> Soit $f: \Omega \to \Omega'$ un homéomorphisme
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> Soient $x \in \Omega$ et $y \in \Omega'$ deux points tels que $y = f(x)$
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> Si $\mathrm{d}f(x)$ et $\mathrm{d}f^{-1}(y)$ existent
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> Alors $\mathrm{d}f(x)$ est inversible, et on a :
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> $( \mathrm{d}f(x))^{-1} = \mathrm{d}f^{-1}(f(x))$
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# Exemples
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