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up:
  - "[[bijection]]"
  - "[[application continue|continue]]"
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  - s/maths/analyse
  - s/maths/topologie
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> [!definition] Définition
> Soient $A \subset E$ et $A' \subset F$ deux ensembles
> On dit que $f : A \to A'$ est un **homéomorphisme** si :
> - $f$ est [[bijection|bijective]]
> - $f$ est [[application continue|continue]]
> - $f^{-1}$ (la [[application réciproque|réciproque]] de $f$) est [[application continue|continue]]
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ 
> Soit $f : K \to K'$ une [[bijection|application bijective]] et [[application continue|continue]] sur un [[espace métrique compact|compact]] $K$
> Alors $f$ est un homéomorphisme de $K$ sur $K'$
> Et $K'$ est également compact.
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Le fait que $K'$ soit compact découle de :
> > - la compacité de $K$
> > - la continuité de $f$
> > - la surjectivité de $f$
> >   
> > On veut maintenant montrer que $f^{-1}$ est continue.
> > Soit $y \in K'$ et soit $(y_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in K'^{\mathbb{N}}$ avec $y_{n} \xrightarrow{n \to \infty} y$
> > On veut montrer que la suite $(x_{n})$ définie par $x_{n} = f^{-1}(y_{n})$, converge vers $x := f^{-1}(y)$
> > Comme les $x_{n}$ appartiennent à $K$ qui est compact, la suite $(x_{n})$ admet une sous-suite convergent, c'est-à-dire :
> > $\exists \varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \text{ strictement croissante },\quad \exists l \in K,\quad x_{\varphi(n)} \xrightarrow{n \to \infty} l$
> > Or : $y_{\varphi(n)} \xrightarrow{n \to \infty} y$ car $y_{n} \xrightarrow{n \to \infty} y$
> > ainsi $y_{\varphi(n)} = f(x_{\varphi(n)}) \xrightarrow{n \to \infty} f(l)$ car $x_{\varphi(n)} \xrightarrow{n \to  \infty} x$ et $f$ est continue
> > Donc, par unicité de la limite, on a $f(l) = y$, on encore $l = f^{-1}(y)$
> > c'est-à-dire $l = x$
> > 
> > On a montré que $x$ est valeur d'adhérence de $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ et même que c'est sa seule valeur d'adhérence.
> > Donc, comme $K$ est compact, la suite $x_{n}$ converge tout entière vers cette unique valeur d'adhérence $x$
> > 
> > Supposons par l'absurde que la suite $(x_{n})$ ne converge pas vers $x$, càd. :
> > $\exists \varepsilon >0,\quad \forall N \in \mathbb{N},\quad \|x_{p} - x\| \geq \varepsilon$
> > Autrement dit, $\exists \varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \text{ strictement croissante },\quad \forall n \in \mathbb{N},\quad \|x_{\varphi(n)} - x\| \geq \varepsilon$ 
> > Comme $(x_{\varphi(n)}) \subset K$ compact, je peux extraire de $(x_{\varphi(n)})$ une sous-suite $(x_{\varphi \circ \psi(n)})$ convergente.
> > Or, $(x_{\varphi \circ \psi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ est une sous suite de $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$, donc sa limite ne peut être que $x$, ce qui contrdit le fait que $\forall n \in \mathbb{N},\quad \|x_{\varphi \circ \psi(n)}\| \geq \varepsilon > 0$.
> > 

> [!proposition]+ différentielle d'un homéomorphisme
> Soient $\Omega \subset E$ et $\Omega' \subset F$ deux [[partie ouverte d'un espace métrique|ouverts]]
> Soit $f: \Omega \to \Omega'$ un homéomorphisme
> Soient $x \in \Omega$ et $y \in \Omega'$ deux points tels que $y = f(x)$
> Si $\mathrm{d}f(x)$ et $\mathrm{d}f^{-1}(y)$ existent
> Alors $\mathrm{d}f(x)$ est inversible, et on a :
> $( \mathrm{d}f(x))^{-1} = \mathrm{d}f^{-1}(f(x))$
> 


# Exemples