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up:: [[automorphisme de groupes]], [[Groupe des bijections]]
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] Définition
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> Soit $G$ un [[groupe]]
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> On note $\mathrm{Aut}(G)$ l'ensemble des [[automorphisme|automorphismes]] de $G$
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^definition
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> [!definition] Définition formelle
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> $\mathrm{Aut}(G) := \{ f \in \mathrm{End}(G) \mid f \text{ est un isomorphisme} \}$
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> où $\mathrm{End}(G)$ est l'ensemble des [[endomorphisme d'espaces vectoriels|endomorphismes]] de $G$.
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> Voir [[isomorphisme de groupes]]
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^definition-formelle
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Sous groupe de $\mathrm{Bij}(G)$
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> L'ensemble $\mathrm{Aut}(G)$ est un [[sous groupe]] de $\mathrm{Bij}(G)$, le [[Groupe des bijections#^groupe-bijections|groupe des bijections]] de $G \to G$
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> $$\boxed{\mathrm{Aut}(G) < \mathrm{Bij}(G)}$$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > - On a bien $\mathrm{Aut}(G) \subset \mathrm{Bij}(G)$ puisque tous les automorphismes sont bijectifs
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> > - On a $\mathrm{id} \in \mathrm{Aut}(G)$, puisque $\mathrm{id} \in \mathrm{Bij}(G)$ et $\mathrm{id} \in \mathrm{End}(G)$
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> > - Si $f \in \mathrm{Aut}(G)$ alors $f$ est un isomorphisme, et donc $f^{-1}$ est aussi un isomorphisme (voir [[isomorphisme de groupes#^isomorphisme-reciproque|isomorphisme réciproque]]). On a bien $f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_{\mathrm{Aut}(G)}$, donc $f^{-1}$ est bien l'inverse de $f$, et $\mathrm{Aut}(G)$ est stable par inverse.
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> > de là suit que $\mathrm{Aut}(G) < \mathrm{Bij}(G)$
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# Exemples
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