up:: [[automorphisme de groupes]], [[Groupe des bijections]]
#s/maths/algèbre 

> [!definition] Définition
> Soit $G$ un [[groupe]]
> On note $\mathrm{Aut}(G)$ l'ensemble des [[automorphisme|automorphismes]] de $G$
^definition

> [!definition] Définition formelle
> $\mathrm{Aut}(G) := \{ f \in \mathrm{End}(G) \mid f \text{ est un isomorphisme} \}$
> où $\mathrm{End}(G)$ est l'ensemble des [[endomorphisme d'espaces vectoriels|endomorphismes]] de $G$.
> Voir [[isomorphisme de groupes]]
^definition-formelle

# Propriétés

> [!proposition]+ Sous groupe de $\mathrm{Bij}(G)$
> L'ensemble $\mathrm{Aut}(G)$ est un [[sous groupe]] de $\mathrm{Bij}(G)$, le [[Groupe des bijections#^groupe-bijections|groupe des bijections]] de $G \to G$
> $$\boxed{\mathrm{Aut}(G) < \mathrm{Bij}(G)}$$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - On a bien $\mathrm{Aut}(G) \subset \mathrm{Bij}(G)$ puisque tous les automorphismes sont bijectifs
> > - On a $\mathrm{id} \in \mathrm{Aut}(G)$, puisque $\mathrm{id} \in \mathrm{Bij}(G)$ et $\mathrm{id} \in \mathrm{End}(G)$
> > - Si $f \in \mathrm{Aut}(G)$ alors $f$ est un isomorphisme, et donc $f^{-1}$ est aussi un isomorphisme (voir [[isomorphisme de groupes#^isomorphisme-reciproque|isomorphisme réciproque]]). On a bien $f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_{\mathrm{Aut}(G)}$, donc $f^{-1}$ est bien l'inverse de $f$, et $\mathrm{Aut}(G)$ est stable par inverse.
> > de là suit que $\mathrm{Aut}(G) < \mathrm{Bij}(G)$


# Exemples