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aliases:
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- gradient
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up:: [[fonction de plusieurs variables]]
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#s/maths/analyse
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> [!definition] gradient d'une fonction
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> Dans un système de [[coordonnées cartésiennes]], soit $f$ une fonction différentiable au point $a = (x_1, x_2, \dots ,x_{n})$
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> Le gradient de $f$ en $a$, est le vecteur $\nabla f(a)$ et défini par :
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> $\nabla f(a) = \begin{pmatrix}\dfrac{ \partial f }{ \partial x_1 }\\ \dfrac{ \partial f }{ \partial x_2 } \\ \vdots \\ \dfrac{ \partial f }{ \partial x_{n} }\end{pmatrix}$
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^definition
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# Propriétés
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- Si le vecteur gradient n'est pas nul, alors :
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- il pointe dans la direction où la fonction croît le plus vite
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- sa [[norme]] est égale au taux de croissance dans cette direction
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- Lorsque le gradient s'annulle, on est sur un extremum local (minimum, maximum, ou point col)
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- Il est donc intéressant de résoudre $\overrightarrow{\nabla}f(x_1, \dots, x_{n}) = \vec{0}$, puisque les solutions sont les points cols
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- Pour connaître la nature des points cols, on utilise le [[déterminant hessien]]
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