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aliases:
  - gradient
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up:: [[fonction de plusieurs variables]]
#s/maths/analyse 


> [!definition] gradient d'une fonction
> Dans un système de [[coordonnées cartésiennes]], soit $f$ une fonction différentiable au point $a = (x_1, x_2, \dots ,x_{n})$
> Le gradient de $f$ en $a$, est le vecteur $\nabla f(a)$ et défini par :
> $\nabla f(a) = \begin{pmatrix}\dfrac{ \partial f }{ \partial x_1 }\\ \dfrac{ \partial f }{ \partial x_2 } \\ \vdots \\ \dfrac{ \partial f }{ \partial x_{n} }\end{pmatrix}$
^definition

# Propriétés


- Si le vecteur gradient n'est pas nul, alors :
    - il pointe dans la direction où la fonction croît le plus vite
    - sa [[norme]] est égale au taux de croissance dans cette direction

- Lorsque le gradient s'annulle, on est sur un extremum local (minimum, maximum, ou point col)
    - Il est donc intéressant de résoudre $\overrightarrow{\nabla}f(x_1, \dots, x_{n}) = \vec{0}$, puisque les solutions sont les points cols
    - Pour connaître la nature des points cols, on utilise le [[déterminant hessien]]