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aliases:
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- fonctions mesurables
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- mesurable
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- mesurables
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up:: [[fonction]], [[espace mesurable]]
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] [[fonction mesurable]]
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> Soient $\mathcal{A}$ une tribu sur $E$ et $\mathcal{B}$ une tribu sur $F$
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> Soit $f : \underbrace{(E, \mathcal{A})}_{\substack{\text{espace}\\\text{mesurable}}} \to \underbrace{(F, \mathcal{B})}_{\substack{\text{espace}\\\text{mesurable}}}$
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> $f$ est **mesurable** de $(E, \mathcal{A})$ dans $(F, \mathcal{B})$ ssi :
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> $\forall B \in \mathcal{B}, f^{-1}(B) \in \mathcal{A}$
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]
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> $f : (E, \mathcal{A}) \to (F, \mathcal{B})$ avec $\mathcal{B} = \sigma(\mathcal{E})$ et $\mathcal{E} \subset \mathscr{P}(F)$
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> $f$ est mesurable $\iff \forall B \in \mathcal{E}, \quad f^{-1}(B) \in \mathcal{A}$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > - $\implies$ évident, car $\mathcal{E} \subset \mathcal{B}$
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> > - $\impliedby$ $\mathcal{A}$ contient $f^{-1}(E)$, donc $\mathcal{A}$ contient $\sigma(f^{-1}(\mathcal{E})) = f^{-1}(\sigma(\mathcal{E})) = f^{-1}(\mathcal{B})$
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> [!proposition]+ applications mesurables réelles
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> Soit $f$ une application de $(E, \mathcal{A})$ à valeurs dans $\mathbb{R}$
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> Alors $f$ est mesurable si et seulement si une des conditions suivantes est respectée :
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> 1. $\forall a \in \mathbb{R},\quad \{ x \in E \mid f(x) < a \} \in \mathcal{A}$
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> 2. $\forall a \in \mathbb{R},\quad \{ x \in E \mid f(x) \leq a \} \in \mathcal{A}$
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> 3. $\forall a \in \mathbb{R},\quad \{ x \in E \mid f(x) > a \} \in \mathcal{A}$
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> 4. $\forall a \in \mathbb{R},\quad \{ x \in E \mid f(x) \geq a \} \in \mathcal{A}$
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Chacune des classes suivantes de parties de $\mathbb{R}$ :
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> > $\{ ]-\infty; a] \mid a \in \mathbb{R} \}; \quad \{ ]-\infty; a[ \mid a \in \mathbb{R} \}; \quad \{ [a; +\infty[ \mid a \in \mathbb{R} \}; \quad \{ ]a; +\infty[ \} \mid a \in \mathbb{R}$
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> > engendre $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ la tribu des boréliens.
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> >
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> > De là suit que $f$ est mesurable si et seulement si leur image par $f$ est inclue dans $\mathcal{A}$
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> [!proposition] La composée de fonctions mesurables est mesurable
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> Soient $(E, \mathcal{A})$, $(F, \mathcal{B})$ et $(G, \mathcal{C})$ 3 [[espace mesurable|espaces mesurables]]
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> Soient $f: E \to F$ et $g: F \to G$ deux fonctions mesurables
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> Alors $g \circ f$ est mesurable de $(E, \mathcal{A})$ dans $(G, \mathcal{C})$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Soit $C \in \mathcal{C}$
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> > $(g \circ f)^{-1}(C) = f^{-1}(\underbrace{g^{-1}(C)}_{\in \mathcal{B}}) \in \mathcal{A}$
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> [!proposition] Mesurabilité et projections
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> Soient $(F_1, \mathcal{B}_{1})$ et $(F_2, \mathcal{B}_{2})$ deux espaces mesurables
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> Soit $\begin{align} p_{i}: &F_1\times F_2 \to F_{i} \\& (x_1, x_2) \mapsto x_{i} \end{align}$ la projection sur $F_{i}$ pour $i \in \{ 1, 2 \}$
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> On munit $F_1 \times F_2$ de la tribu produit $\mathcal{B}_{1} \otimes \mathcal{B}_{2}$
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> 1. $p_{i}$ est mesurable de $(F_1\times F_2, \mathcal{B}_{1}\otimes \mathcal{B}_{2})$ dans $(F_{i}, \mathcal{B}_{i})$
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> 2. Soit $f : (E, \mathcal{A}) \to (F_1 \times F_2, \mathcal{B}_{1} \otimes \mathcal{B}_{2})$, alors $f$ est mesurable ssi $p_{1}\circ f$ est mesurable et $p_2 \circ f$ est mesurable
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > 1. $\forall B_1 \in \mathcal{B}_{1}$ on a $p_1^{-1}(B_1) = B_1 \times F_2 \in \mathcal{B}_{1} \otimes \mathcal{B}_{2}$ et donc $p_1$ est bien mesurable
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> > On montre de la même manière que $p_2$ est mesurable
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> > 2. Si $f$ est mesurable, et puisque $p_1$ et $p_2$ sont mesurables, alors $f \circ p_i$ et $p_{i} \circ f$ sont évidemment mesurables.
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> > Réciproquement, supposons que $p_1 \circ f$ et $p_2 \circ f$ soient mesurables.
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> > Alors $\forall B_1 \in \mathcal{B}_{1}$, on sait que $(p_1 \circ f)^{-1}(B_1) = f^{-1}(B_1 \times F_2) \in \mathcal{A}$.
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> > De la même manière, $\forall B_2 \in \mathcal{B}_{2},\quad (p_2 \circ f)^{-1}(B_2) = f^{-1}(F_1 \times B_2) \in A$
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> >
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> [!proposition]+ Mesurabilité des fonctions indicatrices
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> Dans un [[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
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> Soit $A \subset E$
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> On a :
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> $\mathbb{1}_{A} \text{ mesurable} \iff A \text{ mesurable} \iff A \in \mathcal{A}$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Par définition de la mesurabilité :
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> > $\mathbb{1}_{A} \text{ mesurable} \iff \forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}),\quad \mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) \in \mathcal{A}$
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> > Or, $\mathbb{1}_{A}$ est à valeurs dans $\{ 0, 1 \}$ donc :
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> > $\mathbb{1}_{A} \text{ mesurable} \iff \forall B \in \{ 0, 1 \},\quad \mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) \in \mathcal{A}$
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> > or, $\mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) = \{ x \in E \mid \mathbb{1}_{A}(x) \in B \}$
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> > - Si $B = \emptyset$, alors il est évident que $\mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) = \emptyset$
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> > - Si $B = \{ 0 \}$ alors $\mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) = \{ x \in E \mid \mathbb{1}_{A}(x) = 0 \} = E \setminus A$
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> > - Si $B = \{ 1 \}$ alors $\mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) = A$
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> > - Si $B = \{ 0, 1 \}$ alors $\mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) = E$
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> >
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> > Or, $\emptyset \in \mathcal{A}$ et $E \in \mathcal{A}$ par définition, et $A \text{ mesurable} \iff A \in \mathcal{A} \iff E \setminus A \in \mathcal{A}$ (par stabilité de $\mathcal{A}$ par complémentaire).
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> > De là suit que $\mathbb{1}_{A}$ est mesurable si et seulement si $A$ est mesurable.
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> >
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^fonctions-indicatrices
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# Exemples
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> [!example] Exemple
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> Quel que soit $A \subset E$
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> $\begin{align} \mathbb{1}_{A}: & (E, \mathcal{A}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) \\& x \mapsto \begin{cases} 1 \text{ si } x \in A\\ 0 \text{ si } x \notin A \end{cases} \end{align}$ (voir [[tribu borélienne]], [[fonction indicatrice]])
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> Alors, soit $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$
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> $\mathbb{1}_{A}^{-1}(B) = \begin{cases} \emptyset & \text{ si } 0 \notin B \wedge 1 \notin B\\ E & \text{ si } 0 \in B \wedge 1 \in B\\ A & \text{ si } 0 \notin B \wedge 1 \in B\\ \complement_{E}A &\text{ si } 0 \in B \wedge 1 \notin B \end{cases}$
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> Donc, $\mathbb{1}_{A}$ est mesurable dans $E, \mathcal{A} \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ si et seulement si $\emptyset, E, A, \complement_{E}A$ sont dans $\mathcal{A}$.
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> Il est évident que $\emptyset \in \mathcal{A}$ et que $E \in \mathcal{A}$, car $\mathcal{A}$ est une tribu sur $E$
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> Pour que $\complement_{E}A \in \mathcal{A}$, il faut et suffit que $A \in \mathcal{A}$ (car les [[tribu|tribus]] sont stables par complément)
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> Donc, $\mathbb{1}_{A}$ est mesurable dans $(E, \mathcal{A}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})$ ssi $A \in \mathcal{A}$
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