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aliases:
  - fonctions mesurables
  - mesurable
  - mesurables
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up:: [[fonction]], [[espace mesurable]]
#s/maths/algèbre 

> [!definition] [[fonction mesurable]]
> Soient $\mathcal{A}$ une tribu sur $E$ et $\mathcal{B}$ une tribu sur $F$
> Soit $f : \underbrace{(E, \mathcal{A})}_{\substack{\text{espace}\\\text{mesurable}}} \to \underbrace{(F, \mathcal{B})}_{\substack{\text{espace}\\\text{mesurable}}}$ 
> $f$ est **mesurable** de $(E, \mathcal{A})$ dans $(F, \mathcal{B})$ ssi :
> $\forall B \in \mathcal{B}, f^{-1}(B) \in \mathcal{A}$
^definition

# Propriétés

> [!proposition] 
> $f : (E, \mathcal{A}) \to (F, \mathcal{B})$ avec $\mathcal{B} = \sigma(\mathcal{E})$ et $\mathcal{E} \subset \mathscr{P}(F)$
> $f$ est mesurable $\iff \forall B \in \mathcal{E}, \quad f^{-1}(B) \in \mathcal{A}$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - $\implies$ évident, car $\mathcal{E} \subset \mathcal{B}$
> > - $\impliedby$ $\mathcal{A}$ contient $f^{-1}(E)$, donc $\mathcal{A}$ contient $\sigma(f^{-1}(\mathcal{E})) = f^{-1}(\sigma(\mathcal{E})) = f^{-1}(\mathcal{B})$
 
> [!proposition]+ applications mesurables réelles
> Soit $f$ une application de $(E, \mathcal{A})$ à valeurs dans $\mathbb{R}$
> Alors $f$ est mesurable si et seulement si une des conditions suivantes est respectée :
> 1. $\forall a \in \mathbb{R},\quad \{ x \in E \mid f(x) < a \} \in \mathcal{A}$
> 2. $\forall a \in \mathbb{R},\quad \{ x \in E \mid f(x) \leq a \} \in \mathcal{A}$
> 3. $\forall a \in \mathbb{R},\quad \{ x \in E \mid f(x) > a \} \in \mathcal{A}$
> 4. $\forall a \in \mathbb{R},\quad \{ x \in E \mid f(x) \geq a \} \in \mathcal{A}$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Chacune des classes suivantes de parties de $\mathbb{R}$ :
> > $\{ ]-\infty; a] \mid a \in \mathbb{R} \}; \quad \{ ]-\infty; a[ \mid a \in \mathbb{R} \}; \quad \{ [a; +\infty[ \mid a \in \mathbb{R} \}; \quad \{ ]a; +\infty[ \} \mid a \in \mathbb{R}$
> > engendre $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ la tribu des boréliens.
> > 
> > De là suit que $f$ est mesurable si et seulement si leur image par $f$ est inclue dans $\mathcal{A}$

> [!proposition] La composée de fonctions mesurables est mesurable
> Soient $(E, \mathcal{A})$, $(F, \mathcal{B})$ et $(G, \mathcal{C})$ 3 [[espace mesurable|espaces mesurables]]
> Soient $f: E \to F$ et $g: F \to G$ deux fonctions mesurables
> Alors $g \circ f$ est mesurable de $(E, \mathcal{A})$ dans $(G, \mathcal{C})$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $C \in \mathcal{C}$
> > $(g \circ f)^{-1}(C) = f^{-1}(\underbrace{g^{-1}(C)}_{\in \mathcal{B}}) \in \mathcal{A}$

> [!proposition] Mesurabilité et projections
> Soient $(F_1, \mathcal{B}_{1})$ et $(F_2, \mathcal{B}_{2})$ deux espaces mesurables
> Soit $\begin{align} p_{i}: &F_1\times F_2 \to F_{i} \\& (x_1, x_2) \mapsto x_{i} \end{align}$ la projection sur $F_{i}$ pour $i \in \{ 1, 2 \}$
> On munit $F_1 \times F_2$ de la tribu produit $\mathcal{B}_{1} \otimes \mathcal{B}_{2}$
> 1. $p_{i}$ est mesurable de $(F_1\times F_2, \mathcal{B}_{1}\otimes \mathcal{B}_{2})$ dans $(F_{i}, \mathcal{B}_{i})$
> 2. Soit $f : (E, \mathcal{A}) \to (F_1 \times F_2, \mathcal{B}_{1} \otimes \mathcal{B}_{2})$, alors $f$ est mesurable ssi $p_{1}\circ f$ est mesurable et $p_2 \circ f$ est mesurable
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > 1. $\forall B_1 \in \mathcal{B}_{1}$ on a $p_1^{-1}(B_1) = B_1 \times F_2 \in \mathcal{B}_{1} \otimes \mathcal{B}_{2}$ et donc $p_1$ est bien mesurable
> > On montre de la même manière que $p_2$ est mesurable
> > 2. Si $f$ est mesurable, et puisque $p_1$ et $p_2$ sont mesurables, alors $f \circ p_i$ et $p_{i} \circ f$ sont évidemment mesurables.
> > Réciproquement, supposons que $p_1 \circ f$ et $p_2 \circ f$ soient mesurables.
> > Alors $\forall B_1 \in \mathcal{B}_{1}$, on sait que $(p_1 \circ f)^{-1}(B_1) = f^{-1}(B_1 \times F_2) \in \mathcal{A}$.
> > De la même manière, $\forall B_2 \in \mathcal{B}_{2},\quad (p_2 \circ f)^{-1}(B_2) = f^{-1}(F_1 \times B_2) \in A$
> >     

> [!proposition]+ Mesurabilité des fonctions indicatrices
> Dans un [[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$ 
> Soit $A \subset E$
> On a :
> $\mathbb{1}_{A} \text{ mesurable} \iff A \text{ mesurable} \iff A \in \mathcal{A}$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Par définition de la mesurabilité :
> > $\mathbb{1}_{A} \text{ mesurable} \iff \forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}),\quad \mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) \in \mathcal{A}$
> > Or, $\mathbb{1}_{A}$ est à valeurs dans $\{ 0, 1 \}$ donc :
> > $\mathbb{1}_{A} \text{ mesurable} \iff \forall B \in \{ 0, 1 \},\quad \mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) \in \mathcal{A}$
> > or, $\mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) = \{ x \in E \mid \mathbb{1}_{A}(x) \in B \}$
> > - Si $B = \emptyset$, alors il est évident que $\mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) = \emptyset$
> > - Si $B = \{ 0 \}$ alors $\mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) = \{ x \in E \mid \mathbb{1}_{A}(x) = 0 \} = E \setminus A$
> > - Si $B = \{ 1 \}$ alors $\mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) = A$
> > - Si $B = \{ 0, 1 \}$ alors $\mathbb{1}_{A}{}^{-1}(B) = E$
> > 
> > Or, $\emptyset \in \mathcal{A}$ et $E \in \mathcal{A}$ par définition, et $A \text{ mesurable} \iff A \in \mathcal{A} \iff E \setminus A \in \mathcal{A}$ (par stabilité de $\mathcal{A}$ par complémentaire).
> > De là suit que $\mathbb{1}_{A}$ est mesurable si et seulement si $A$ est mesurable.
> > 
^fonctions-indicatrices

# Exemples

> [!example] Exemple
> Quel que soit $A \subset E$
> $\begin{align} \mathbb{1}_{A}: & (E, \mathcal{A}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) \\& x \mapsto \begin{cases} 1 \text{ si } x \in A\\ 0 \text{ si } x \notin A \end{cases} \end{align}$ (voir [[tribu borélienne]], [[fonction indicatrice]])
> Alors, soit $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$
> $\mathbb{1}_{A}^{-1}(B) = \begin{cases} \emptyset & \text{ si } 0 \notin B \wedge 1 \notin B\\ E & \text{ si } 0 \in B \wedge 1 \in B\\ A & \text{ si } 0 \notin B \wedge 1 \in B\\ \complement_{E}A &\text{ si } 0 \in B \wedge 1 \notin B \end{cases}$
> Donc, $\mathbb{1}_{A}$ est mesurable dans $E, \mathcal{A} \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ si et seulement si $\emptyset, E, A, \complement_{E}A$ sont dans $\mathcal{A}$.
> Il est évident que $\emptyset \in \mathcal{A}$ et que $E \in \mathcal{A}$, car $\mathcal{A}$ est une tribu sur $E$
> Pour que $\complement_{E}A \in \mathcal{A}$, il faut et suffit que $A \in \mathcal{A}$ (car les [[tribu|tribus]] sont stables par complément) 
> Donc, $\mathbb{1}_{A}$ est mesurable dans $(E, \mathcal{A}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})$ ssi $A \in \mathcal{A}$