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#s/maths/algèbre #flashcards/maths/algèbre
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# Structures
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propriétés d'un semi groupe
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??
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une loi de composition **interne**
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et **associative**
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<!--SR:!2024-05-13,326,192!2023-12-17,48,272-->
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propriétés d'un groupe
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??
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une loi de composition **interne**
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et **associative**
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Il existe un **élément neutre**
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Tous les éléments ont un **symétrique**
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<!--SR:!2026-09-18,1184,330!2026-04-22,997,332-->
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propriétés d'un monoïde
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??
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une loi de composition **interne**
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et **associative**
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Il existe un **élément neutre**
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<!--SR:!2024-06-19,37,132!2024-07-23,397,272-->
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l'**ordre d'un groupe** est...
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??
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le _nombre d'éléments_ de son ensemble sous-jacent (pour un groupe)
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<!--SR:!2028-03-01,1584,332!2025-03-02,581,292-->
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l'**ordre** d'un **élément** $a$ d'un groupe est...
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??
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le plus petit nombre $n$ tel que $a^{*n}=a$
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<!--SR:!2027-07-11,1138,312!2025-11-18,880,312-->
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propriétés d'un [[espace vectoriel]]
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??
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$(E, +, \cdot)$ tel que :
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- $(E, +)$ est un [[groupe abélien]]
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- [[loi de composition interne]]
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- [[commutativité|commutative]]
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- un [[élément neutre]]
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- tous les éléments sont [[éléments inversibles|symétrisables]]
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- $\cdot$ est [[distributivité|distributive]] sur $+$
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<!--SR:!2027-04-13,1065,292!2025-08-13,783,312-->
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sous espace vectoriel
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?
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- $F \subset E$
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- $0_{E} \in F$
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- $\forall (u, v) \in E^{2}, \forall \lambda \in \mathbb{R}, \lambda u + v \in F$ (stable par combinaison linéaire)
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<!--SR:!2026-03-25,895,322-->
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propriétés d'un [[espace affine]]
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?
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Soit $E$ un [[espace vectoriel]]
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$\mathcal{E}$ est un [[espace affine]] ssi :
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- $\forall (A, B) \in \mathcal{E}^{2}, \quad \overrightarrow{AB} \in E$
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- toute paire de point forme un vecteur de $E$
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- $\forall (A, B)\in \mathcal{E}^{2}, \quad \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}$
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- inverser les points oppose le vecteur
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- $\forall (A, B, C)\in \mathcal{E}^{3}, \quad \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
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- [[relation de chasles]]
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- $\forall O \in \mathcal{E}, \quad \forall v \in E, \quad \exists!A \in E, \quad \overrightarrow{OA} = \vec{v}$
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- pour toute translation, il existe une image unique pour chaque point
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<!--SR:!2024-06-01,3,130-->
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espace affine engendré par La famille de points $(\mathcal{A}_{i})$
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$Aff(\mathcal{A})$
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?
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Plus petit espace affine contenant tout les points d'une famille de points $(\mathcal{A}_{i})$
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$\begin{align} Aff(\mathcal{A}) &= \mathcal{A}_0+Vect(\{ \overrightarrow{\mathcal{A}_0M} \mid M \in \mathcal{A} \}) \\ &= \mathcal{A}_0 + Vect(\{ \overrightarrow{\mathcal{A}_0\mathcal{A}_1}, \overrightarrow{\mathcal{A}_0\mathcal{A}_2}, \dots, \overrightarrow{\mathcal{A}_0\mathcal{A}_{k}} \}) \end{align}$
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$Aff(\mathcal{A})$ se construit avec une origine dans $\mathcal{A}$, et avec toutes les translations engendrées par la famille des vecteurs $\{ \overrightarrow{\mathcal{A}_{0}M} \mid M \in \mathcal{A} \}$
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<!--SR:!2026-06-26,758,293-->
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direction d'un espace affine $\mathcal{E}$
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??
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Soit $\mathcal{E}$ un espace affine
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l'ensemble $\{ \overrightarrow{AB} \mid (A, B) \in \mathcal{E}^{2} \}$
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<!--SR:!2024-11-19,190,293!2025-03-05,621,293-->
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[[théorème du rang]]
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??
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Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de dimension finie
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Soit $f : E \to F$
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on a :
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$\boxed{\dim(\mathrm{Im}(f)) + \dim(\ker(f)) = \dim(E)}$
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<!--SR:!2024-10-06,472,273!2024-08-31,484,313-->
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Montrer que $F$ est un [[sous espace vectoriel]] de $E$
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?
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- $F \subset E$
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- $\vec{0}_{E} \in F$
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- $F$ est stable par combinaisons linéaires
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<!--SR:!2024-09-11,495,313-->
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Somme d'espaces vectoriels $E+F$
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?
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$E + F = \{ e + f \mid e \in E \wedge f \in F \}$
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<!--SR:!2025-02-17,476,273-->
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Théorème des bases incomplètes
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??
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Soit $E$ un [[espace vectoriel]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] finie
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Soit $\mathcal{F}$ une [[famille de vecteurs libre|famille libre]] de vecteurs de $E$.
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On peut toujours ajouter un nombre fini de vecteurs à $\mathcal{F}$ pour qu'elle devienne une base de $E$
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(Ces vecteurs ajoutés rendent $\mathcal{F}$ [[famille de vecteurs génératrice|génératrice]] )
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<!--SR:!2026-07-11,773,293!2024-07-31,121,253-->
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Espace préhilbertien réel
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??
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Un $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel]], muni d'une [[forme bilinéaire]] $\varphi$, où :
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- [[forme bilinéaire symétrique|symétrique]] : $\varphi(x, y) = \varphi(y, x)$
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- [[forme bilinéaire définie|définie]] : $\varphi(x, x) = 0 \iff x = \vec{0}$
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- [[forme bilinéaire positive|positive]] : $\varphi(x, x) \geq 0$
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<!--SR:!2024-09-02,96,262!2024-09-11,105,282-->
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[[groupe monogène]] ::: groupe engendré par un seul élément
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[[groupe cyclique]] ::: groupe [[groupe monogène|monogène]] et fini
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# Applications
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application bilinéaire
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?
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Application $f: E^{2} \to \mathbf{K}$ telle que :
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- $f(( \textcolor{green}{a_{1}}\textcolor{royalblue}{u_{1}} + \textcolor{orange}{a_{2}}\textcolor{royalblue}{u_{2}}; v )) = \textcolor{green}{a_{1}}f((\textcolor{royalblue}{u_{1}}; v)) + \textcolor{orange}{a_{2}}f((\textcolor{royalblue}{u_{2}}; v))$
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- $f(( u; \textcolor{green}{a_{1}}\textcolor{royalblue}{v_{1}} + \textcolor{orange}{a_{2}}\textcolor{royalblue}{v_{2}} )) = \textcolor{green}{a_{1}}f((u;\textcolor{royalblue}{v_{1}})) + \textcolor{orange}{a_{2}}f((u;\textcolor{royalblue}{v_{2}}))$
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<!--SR:!2024-07-21,395,283-->
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|
application symétrique
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??
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Application $f : E^{2} \to \mathbf{K}$ telle que
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$\forall (u, v) \in E^{2}, \quad f((u;v)) = f((v;u))$
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<!--SR:!2025-02-21,610,323!2026-01-07,818,303-->
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## Applications bilinéaires
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Définition d'une norme
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??
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Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] où $\mathbf{K}$ admet une [[valeur absolue]]
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- [[espace séparé|séparation]] : $\forall x \in \mathbf{E}, \quad \mathcal{N}(x) = 0 \implies x = 0_{E}$
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- la [[réciproque (logique)|réciproque]] est vraie aussi
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- absolue [[application homogène|homogénéité]] : $\forall (\lambda, x) \in K \times E, \quad \mathcal{N}(\lambda x) = |\lambda|\mathcal{N}(x)$
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- [[inégalité triangulaire]] ([[application sous-additive]]) : $\forall (x, y) \in \mathbf{E}^{2}, \quad \mathcal{N}(x + y) \leq \mathcal{N}(x)+\mathcal{N}(y)$
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<!--SR:!2024-08-20,83,242!2026-06-13,745,302-->
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Soit $b$ une forme bilinéaire de matrice $B$,
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exprimer $b(x, y)$ sous forme matricielle
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?
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$b(x, y) = \,^T\!x \cdot B \cdot y$
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<!--SR:!2023-12-28,151,342-->
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Définition d'un produit scalaire
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??
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[[forme bilinéaire]] [[forme bilinéaire symétrique|symétrique]] [[forme bilinéaire définie|définie]] [[forme bilinéaire positive|positive]]
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<!--SR:!2024-10-21,63,262!2024-06-07,25,282-->
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### Endomorphismes
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Définition d'un endomorphisme
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??
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[[morphisme de groupes]] d'un [[espace vectoriel]] dans lui-même
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<!--SR:!2024-10-05,359,322!2023-12-02,125,282-->
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endomorphisme symétrique
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??
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$\langle \varphi(u), v \rangle = \langle u, \varphi(v) \rangle$
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Sur $\mathbb{R}$, cela est équivalent à dire que la matrice de l'endomorphisme est symétrique
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<!--SR:!2024-07-10,42,222!2024-10-04,46,244-->
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endomorphisme adjoint d'un endomorphisme $f$
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??
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$f^{*}$ tel que $\langle f^{*}(u), v \rangle = \langle u, f(v) \rangle$
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<!--SR:!2024-09-21,33,282!2025-08-25,453,322-->
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matrice adjointe de $A$
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??
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Notée $A^{*}$
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Sur, $\mathbb{C}$, la **transconjuguée** : $A^{*} = \,^T \,\overline{A}$
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<!--SR:!2024-11-18,385,322!2026-02-13,641,303-->
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endomorphisme normal
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??
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endomorphisme $f$ tel que $f$ commute avec son [[endomorphisme adjoint|adjoint]]:
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$f \circ f^{*} = f^{*} \circ f$
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<!--SR:!2024-07-03,35,242!2025-01-23,157,303-->
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|
spectre d'un endomorphisme linéaire
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??
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|
ensemble des valeurs propres d'un endomorphisme
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<!--SR:!2023-11-23,116,262!2024-04-13,145,283-->
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- [x] #task rédiger flashcards ✅ 2023-05-15
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- démonstration de l'[[inégalité triangulaire]]
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- [[inégalité de cauchy schwartz]]
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- cas d'égalité
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- définition d'[[espace préhilbertien]] --> structures
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- définition de [[orthogonal d'un sous espace vectoriel|sev orthogonal]] --> structures
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- endomorphisme
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- adjacent et matrice adjacente
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# Matrices
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Matrice de rotation en 2D (angle $\theta$) ::: $\large\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$
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<!--SR:!2023-11-05,6,130!2024-11-30,521,304-->
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Matrice de symétrie en 2D (angle $\theta$) ::: $\large \begin{pmatrix}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta\end{pmatrix}$
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<!--SR:!2023-11-04,5,150!2023-12-21,230,270-->
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[[direction d'un espace affine]] ::: Ensemble des vecteurs formés par deux points d'un [[espace affine]]
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<!--SR:!2025-05-13,691,313!2025-09-15,532,253-->
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$\{ \overrightarrow{AB} \mid (A, B) \in \mathcal{E}^{2} \}$
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espace affine engendré par une famille de points $\mathcal{A}$
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?
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plus petit espace affine contenant tous les points de $\mathcal{A}$
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C'est l'intersection de tous les espaces affines contenant $\mathcal{A}$
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<!--SR:!2025-05-02,338,273-->
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valeur propre d'une matrice $M$
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??
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Soit $M$ une matrice
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un **scalaire $\lambda$ tel que** :
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il existe un vecteur $u \neq \vec{0}$ tel que $Mu = \lambda u$
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<!--SR:!2024-04-26,365,293!2025-05-15,693,313-->
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valeur propre d'une application linéaire $\varphi$
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??
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Soit $\varphi$ une application linéaire
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un **scalaire $\lambda$ tel que** :
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il existe un vecteur $u \neq \vec{0}$ tel que $\varphi(u) = \lambda u$
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<!--SR:!2024-09-12,496,313!2025-05-14,692,313-->
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vecteur propre d'une application linéaire $\varphi$
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??
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Soit $\varphi$ une application linéaire
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un **vecteur $u \neq \vec{0}$ tel que** :
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|
il existe un scalaire $\lambda$ tel que $\varphi(u) = \lambda u$
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<!--SR:!2025-04-08,232,273!2024-09-17,111,293-->
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vecteur propre d'une matrice $M$
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|
??
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Soit $M$ une matrice
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un **vecteur $u \neq \vec{0}$ tel que** :
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|
il existe un scalaire $\lambda$ tel que $Mu = \lambda u$
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<!--SR:!2024-07-27,449,290!2024-07-31,453,293-->
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comment diagonaliser une matrice
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?
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Soit $M$ une matrice
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- calculer les [[valeur propre d'une matrice|valeurs propres]] $\lambda$
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- ma [[matrice diagonale]] dont les coefficients sont ces valeurs propres est la matrice diagonalisée, $D$
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- [!] la matrice est diagonalisable seulement si il y à assez de valeurs propres distinctes (on veut $\dim D = \dim M$)
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- pour chaque [[valeur propre d'une matrice|valeur propre]]
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- calculer [[sous espace propre|sous espace vectoriel des vecteurs propres associés]] à cette [[valeur propre d'une matrice|valeur propre]]
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- calculer la [[base d'un espace vectoriel|base]] de ce [[sous espace vectoriel]]
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- la concaténation des vecteurs des [[base d'un espace vectoriel|bases]] de tous les [[sous espace propre|sous espaces propres]] forme une matrice $P$
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- [!] il faut mettre ces vecteurs dans le même ordre que les valeurs propres dans $D$
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|
- cette matrice est la matrice de passage qui va de $M$ à $D$ : $A = PDP^{-1}$
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<!--SR:!2025-02-12,601,272-->
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trace d'une matrice $M$ ($\mathrm{Tr}(M)$)
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??
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soit M une matrice $n\times n$
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la somme des coefficients diagonaux de $M$
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$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n} M_{k,k}$
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<!--SR:!2025-03-19,636,293!2024-06-13,405,273-->
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[[matrice orthogonale]]
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??
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Matrice $M$ telle que $^TM = M^{-1}$
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(on montre qu'elle est composée de vecteurs unitaires)
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<!--SR:!2025-01-01,135,253!2024-09-14,108,233-->
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|
|
[[matrice symétrique]]
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|
??
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|
Matrice $M$ telle que $M = \,^T M$
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<!--SR:!2025-05-21,699,332!2025-08-08,740,333-->
|
|
|
|
[[matrice antisymétrique]]
|
|
??
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|
Matrice $M$ telle que $\,^T M = -M$
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<!--SR:!2024-09-10,494,333!2025-03-18,635,293-->
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|
Formule pour l'inverse d'une matrice
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?
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$M^{-1} = \dfrac{1}{\det M} \times \,^T \mathrm{comat}(M)$
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<!--SR:!2025-03-31,648,293-->
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[[matrice diagonale]]
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??
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Matrice $M$ telle que $i \neq j \implies M_{i,j} = 0$
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|
Seules la diagonale est non-nulle
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<!--SR:!2025-04-29,677,312!2024-08-11,464,313-->
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# Bases
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[[base duale d'une famille de formes linéaires|base duale]]
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