#s/maths/algèbre #flashcards/maths/algèbre # Structures propriétés d'un semi groupe ?? une loi de composition **interne** et **associative** propriétés d'un groupe ?? une loi de composition **interne** et **associative** Il existe un **élément neutre** Tous les éléments ont un **symétrique** propriétés d'un monoïde ?? une loi de composition **interne** et **associative** Il existe un **élément neutre** l'**ordre d'un groupe** est... ?? le _nombre d'éléments_ de son ensemble sous-jacent (pour un groupe) l'**ordre** d'un **élément** $a$ d'un groupe est... ?? le plus petit nombre $n$ tel que $a^{*n}=a$ propriétés d'un [[espace vectoriel]] ?? $(E, +, \cdot)$ tel que : - $(E, +)$ est un [[groupe abélien]] - [[loi de composition interne]] - [[commutativité|commutative]] - un [[élément neutre]] - tous les éléments sont [[éléments inversibles|symétrisables]] - $\cdot$ est [[distributivité|distributive]] sur $+$ sous espace vectoriel ? - $F \subset E$ - $0_{E} \in F$ - $\forall (u, v) \in E^{2}, \forall \lambda \in \mathbb{R}, \lambda u + v \in F$ (stable par combinaison linéaire) propriétés d'un [[espace affine]] ? Soit $E$ un [[espace vectoriel]] $\mathcal{E}$ est un [[espace affine]] ssi : - $\forall (A, B) \in \mathcal{E}^{2}, \quad \overrightarrow{AB} \in E$ - toute paire de point forme un vecteur de $E$ - $\forall (A, B)\in \mathcal{E}^{2}, \quad \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}$ - inverser les points oppose le vecteur - $\forall (A, B, C)\in \mathcal{E}^{3}, \quad \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ - [[relation de chasles]] - $\forall O \in \mathcal{E}, \quad \forall v \in E, \quad \exists!A \in E, \quad \overrightarrow{OA} = \vec{v}$ - pour toute translation, il existe une image unique pour chaque point espace affine engendré par La famille de points $(\mathcal{A}_{i})$ $Aff(\mathcal{A})$ ? Plus petit espace affine contenant tout les points d'une famille de points $(\mathcal{A}_{i})$ $\begin{align} Aff(\mathcal{A}) &= \mathcal{A}_0+Vect(\{ \overrightarrow{\mathcal{A}_0M} \mid M \in \mathcal{A} \}) \\ &= \mathcal{A}_0 + Vect(\{ \overrightarrow{\mathcal{A}_0\mathcal{A}_1}, \overrightarrow{\mathcal{A}_0\mathcal{A}_2}, \dots, \overrightarrow{\mathcal{A}_0\mathcal{A}_{k}} \}) \end{align}$ $Aff(\mathcal{A})$ se construit avec une origine dans $\mathcal{A}$, et avec toutes les translations engendrées par la famille des vecteurs $\{ \overrightarrow{\mathcal{A}_{0}M} \mid M \in \mathcal{A} \}$ direction d'un espace affine $\mathcal{E}$ ?? Soit $\mathcal{E}$ un espace affine l'ensemble $\{ \overrightarrow{AB} \mid (A, B) \in \mathcal{E}^{2} \}$ [[théorème du rang]] ?? Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de dimension finie Soit $f : E \to F$ on a : $\boxed{\dim(\mathrm{Im}(f)) + \dim(\ker(f)) = \dim(E)}$ Montrer que $F$ est un [[sous espace vectoriel]] de $E$ ? - $F \subset E$ - $\vec{0}_{E} \in F$ - $F$ est stable par combinaisons linéaires Somme d'espaces vectoriels $E+F$ ? $E + F = \{ e + f \mid e \in E \wedge f \in F \}$ Théorème des bases incomplètes ?? Soit $E$ un [[espace vectoriel]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] finie Soit $\mathcal{F}$ une [[famille de vecteurs libre|famille libre]] de vecteurs de $E$. On peut toujours ajouter un nombre fini de vecteurs à $\mathcal{F}$ pour qu'elle devienne une base de $E$ (Ces vecteurs ajoutés rendent $\mathcal{F}$ [[famille de vecteurs génératrice|génératrice]] ) Espace préhilbertien réel ?? Un $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel]], muni d'une [[forme bilinéaire]] $\varphi$, où : - [[forme bilinéaire symétrique|symétrique]] : $\varphi(x, y) = \varphi(y, x)$ - [[forme bilinéaire définie|définie]] : $\varphi(x, x) = 0 \iff x = \vec{0}$ - [[forme bilinéaire positive|positive]] : $\varphi(x, x) \geq 0$ [[groupe monogène]] ::: groupe engendré par un seul élément [[groupe cyclique]] ::: groupe [[groupe monogène|monogène]] et fini # Applications application bilinéaire ? Application $f: E^{2} \to \mathbf{K}$ telle que : - $f(( \textcolor{green}{a_{1}}\textcolor{royalblue}{u_{1}} + \textcolor{orange}{a_{2}}\textcolor{royalblue}{u_{2}}; v )) = \textcolor{green}{a_{1}}f((\textcolor{royalblue}{u_{1}}; v)) + \textcolor{orange}{a_{2}}f((\textcolor{royalblue}{u_{2}}; v))$ - $f(( u; \textcolor{green}{a_{1}}\textcolor{royalblue}{v_{1}} + \textcolor{orange}{a_{2}}\textcolor{royalblue}{v_{2}} )) = \textcolor{green}{a_{1}}f((u;\textcolor{royalblue}{v_{1}})) + \textcolor{orange}{a_{2}}f((u;\textcolor{royalblue}{v_{2}}))$ application symétrique ?? Application $f : E^{2} \to \mathbf{K}$ telle que $\forall (u, v) \in E^{2}, \quad f((u;v)) = f((v;u))$ ## Applications bilinéaires Définition d'une norme ?? Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] où $\mathbf{K}$ admet une [[valeur absolue]] - [[espace séparé|séparation]] : $\forall x \in \mathbf{E}, \quad \mathcal{N}(x) = 0 \implies x = 0_{E}$ - la [[réciproque (logique)|réciproque]] est vraie aussi - absolue [[application homogène|homogénéité]] : $\forall (\lambda, x) \in K \times E, \quad \mathcal{N}(\lambda x) = |\lambda|\mathcal{N}(x)$ - [[inégalité triangulaire]] ([[application sous-additive]]) : $\forall (x, y) \in \mathbf{E}^{2}, \quad \mathcal{N}(x + y) \leq \mathcal{N}(x)+\mathcal{N}(y)$ Soit $b$ une forme bilinéaire de matrice $B$, exprimer $b(x, y)$ sous forme matricielle ? $b(x, y) = \,^T\!x \cdot B \cdot y$ Définition d'un produit scalaire ?? [[forme bilinéaire]] [[forme bilinéaire symétrique|symétrique]] [[forme bilinéaire définie|définie]] [[forme bilinéaire positive|positive]] ### Endomorphismes Définition d'un endomorphisme ?? [[morphisme de groupes]] d'un [[espace vectoriel]] dans lui-même endomorphisme symétrique ?? $\langle \varphi(u), v \rangle = \langle u, \varphi(v) \rangle$ Sur $\mathbb{R}$, cela est équivalent à dire que la matrice de l'endomorphisme est symétrique endomorphisme adjoint d'un endomorphisme $f$ ?? $f^{*}$ tel que $\langle f^{*}(u), v \rangle = \langle u, f(v) \rangle$ matrice adjointe de $A$ ?? Notée $A^{*}$ Sur, $\mathbb{C}$, la **transconjuguée** : $A^{*} = \,^T \,\overline{A}$ endomorphisme normal ?? endomorphisme $f$ tel que $f$ commute avec son [[endomorphisme adjoint|adjoint]]: $f \circ f^{*} = f^{*} \circ f$ spectre d'un endomorphisme linéaire ?? ensemble des valeurs propres d'un endomorphisme - [x] #task rédiger flashcards ✅ 2023-05-15 - démonstration de l'[[inégalité triangulaire]] - [[inégalité de cauchy schwartz]] - cas d'égalité - définition d'[[espace préhilbertien]] --> structures - définition de [[orthogonal d'un sous espace vectoriel|sev orthogonal]] --> structures - endomorphisme - adjacent et matrice adjacente # Matrices Matrice de rotation en 2D (angle $\theta$) ::: $\large\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$ Matrice de symétrie en 2D (angle $\theta$) ::: $\large \begin{pmatrix}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta\end{pmatrix}$ [[direction d'un espace affine]] ::: Ensemble des vecteurs formés par deux points d'un [[espace affine]] $\{ \overrightarrow{AB} \mid (A, B) \in \mathcal{E}^{2} \}$ espace affine engendré par une famille de points $\mathcal{A}$ ? plus petit espace affine contenant tous les points de $\mathcal{A}$ C'est l'intersection de tous les espaces affines contenant $\mathcal{A}$ valeur propre d'une matrice $M$ ?? Soit $M$ une matrice un **scalaire $\lambda$ tel que** : il existe un vecteur $u \neq \vec{0}$ tel que $Mu = \lambda u$ valeur propre d'une application linéaire $\varphi$ ?? Soit $\varphi$ une application linéaire un **scalaire $\lambda$ tel que** : il existe un vecteur $u \neq \vec{0}$ tel que $\varphi(u) = \lambda u$ vecteur propre d'une application linéaire $\varphi$ ?? Soit $\varphi$ une application linéaire un **vecteur $u \neq \vec{0}$ tel que** : il existe un scalaire $\lambda$ tel que $\varphi(u) = \lambda u$ vecteur propre d'une matrice $M$ ?? Soit $M$ une matrice un **vecteur $u \neq \vec{0}$ tel que** : il existe un scalaire $\lambda$ tel que $Mu = \lambda u$ comment diagonaliser une matrice ? Soit $M$ une matrice - calculer les [[valeur propre d'une matrice|valeurs propres]] $\lambda$ - ma [[matrice diagonale]] dont les coefficients sont ces valeurs propres est la matrice diagonalisée, $D$ - [!] la matrice est diagonalisable seulement si il y à assez de valeurs propres distinctes (on veut $\dim D = \dim M$) - pour chaque [[valeur propre d'une matrice|valeur propre]] - calculer [[sous espace propre|sous espace vectoriel des vecteurs propres associés]] à cette [[valeur propre d'une matrice|valeur propre]] - calculer la [[base d'un espace vectoriel|base]] de ce [[sous espace vectoriel]] - la concaténation des vecteurs des [[base d'un espace vectoriel|bases]] de tous les [[sous espace propre|sous espaces propres]] forme une matrice $P$ - [!] il faut mettre ces vecteurs dans le même ordre que les valeurs propres dans $D$ - cette matrice est la matrice de passage qui va de $M$ à $D$ : $A = PDP^{-1}$ trace d'une matrice $M$ ($\mathrm{Tr}(M)$) ?? soit M une matrice $n\times n$ la somme des coefficients diagonaux de $M$ $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n} M_{k,k}$ [[matrice orthogonale]] ?? Matrice $M$ telle que $^TM = M^{-1}$ (on montre qu'elle est composée de vecteurs unitaires) [[matrice symétrique]] ?? Matrice $M$ telle que $M = \,^T M$ [[matrice antisymétrique]] ?? Matrice $M$ telle que $\,^T M = -M$ Formule pour l'inverse d'une matrice ? $M^{-1} = \dfrac{1}{\det M} \times \,^T \mathrm{comat}(M)$ [[matrice diagonale]] ?? Matrice $M$ telle que $i \neq j \implies M_{i,j} = 0$ Seules la diagonale est non-nulle # Bases [[base duale d'une famille de formes linéaires|base duale]]