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up:
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- "[[structure de topologie|topologie]]"
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tags:
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- s/maths/topologie
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aliases:
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- espaces topologiques
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> [!definition] [[espace topologique]]
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> Un **espace topologique** est un ensemble muni d'une [[structure de topologie|topologie]]
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> ![[structure de topologie#^definition]]
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+
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> Un sous-ensemble $U$ d'un espace topologique est un ouvert si et seulement si il est voisinage de chacun de ses points.
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Dans un espace topologique $X$
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> > - $\implies$ Soit $U$ ouvert
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> > $\forall x \in U,\quad x \in \underbracket{U}_{\tiny\text{ouvert}} \subseteq U$
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> > Donc $U$ est voisinage de chacun de ses points
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> > - $\impliedby$ Soit $V$ un sous ensemble de $X$ qui est voisinage de chacun de ses points.
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> > $\forall x \in V,\quad \exists U_{x} \text{ ouvert},\quad x \in U_{x} \subseteq V$
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> > $\displaystyle \bigcup _{x \in V}U_{x} \subseteq$ et $\displaystyle V = \bigcup _{x \in V} \{ x \} \subseteq \bigcup _{x \in V}U_{x}$
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> > D'où $V = \underbrace{\bigcup _{x \in V} U_{x}}_{\small\substack{\text{union d'ouverts}\\\text{donc ouvert}}}$
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# Exemples
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