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up:
  - "[[structure de topologie|topologie]]"
tags:
  - s/maths/topologie
aliases:
  - espaces topologiques
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> [!definition] [[espace topologique]]
> Un **espace topologique** est un ensemble muni d'une [[structure de topologie|topologie]]
> ![[structure de topologie#^definition]]
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ 
> Un sous-ensemble $U$ d'un espace topologique est un ouvert si et seulement si il est voisinage de chacun de ses points.
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Dans un espace topologique $X$
> >  - $\implies$ Soit $U$ ouvert
> >    $\forall x \in U,\quad x \in \underbracket{U}_{\tiny\text{ouvert}} \subseteq U$
> >    Donc $U$ est voisinage de chacun de ses points
> >  - $\impliedby$ Soit $V$ un sous ensemble de $X$ qui est voisinage de chacun de ses points.
> >    $\forall x \in V,\quad \exists U_{x} \text{ ouvert},\quad x \in U_{x} \subseteq V$
> >    $\displaystyle \bigcup _{x \in V}U_{x} \subseteq$ et $\displaystyle V = \bigcup _{x \in V} \{ x \} \subseteq \bigcup _{x \in V}U_{x}$
> >    D'où $V = \underbrace{\bigcup _{x \in V} U_{x}}_{\small\substack{\text{union d'ouverts}\\\text{donc ouvert}}}$

# Exemples