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up:: [[endomorphisme linéaire]]
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sibling:: [[matrice adjointe]]
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title:: "$f^{*}$ tel que $\langle f^{*}(u), v \rangle = \langle u, f(v) \rangle$"
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] Adjoint d'un endomorphisme
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> Soit $(E, \langle \cdot,\cdot \rangle)$ un [[espace préhilbertien]]
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> Soit $f : E \to E$ un [[endomorphisme linéaire]] de $E$ ($f \in \mathcal{L}(E)$, voir [[ensemble des endomorphismes linéaires|𝓛(E)]]).
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> On note $f^{*}$ l'**adjoint** de $f$, la fonction telle que :
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> $\forall (x, y) \in E^{2}, \quad \boxed{\langle x, f(y) \rangle = \langle f^{*}(x), y \rangle}$
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^definition
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# Propriétés
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- $(f^{*})^{*} = f$
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- $(f \circ g)^{*} = g^{*} \circ f^{*}$
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- $\|f^{*}\| = \|f\|$ (dans l'[[espace vectoriel]] $\mathcal{L}(E)$ des [[ensemble des endomorphismes linéaires|endomorphismes de E]])
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