up:: [[endomorphisme linéaire]]
sibling:: [[matrice adjointe]]
title:: "$f^{*}$ tel que $\langle f^{*}(u), v \rangle = \langle u, f(v) \rangle$"
#s/maths/algèbre 

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> [!definition] Adjoint d'un endomorphisme
> Soit $(E, \langle \cdot,\cdot \rangle)$ un [[espace préhilbertien]]
> Soit $f : E \to E$ un [[endomorphisme linéaire]] de $E$ ($f \in \mathcal{L}(E)$, voir [[ensemble des endomorphismes linéaires|𝓛(E)]]).
> On note $f^{*}$ l'**adjoint** de $f$, la fonction telle que :
> $\forall (x, y) \in E^{2}, \quad \boxed{\langle x, f(y) \rangle = \langle f^{*}(x), y \rangle}$
^definition

# Propriétés

 - $(f^{*})^{*} = f$
 - $(f \circ g)^{*} = g^{*} \circ f^{*}$
 - $\|f^{*}\| = \|f\|$ (dans l'[[espace vectoriel]] $\mathcal{L}(E)$ des [[ensemble des endomorphismes linéaires|endomorphismes de E]])