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up: "[[norme]]"
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tags: "#s/maths/algèbre"
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> [!definition] Distance
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> Soit $X$ un ensemble
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> Une application $d : X \times X \to \mathbb{R}$ est appelée **distance** ssi :
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> - $\forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) = d(y, x)$ ([[relation symétrique|symétrie]])
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> - $\forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) \geq 0$ toutes les distances sont positives ou nulles
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> - $\forall x \in X, \quad d(x, x) = 0$
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> - $\forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) = 0 \implies x = y$ ([[espace séparé|séparation]])
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> - $\forall (x, y, z) \in X^{3}, \quad d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$ ([[inégalité triangulaire]])
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^definition
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> [!definition] distance (définition à partir d'une [[norme]])
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> Soit $(E, \langle\cdot,\cdot \rangle)$ un [[espace préhilbertien]]
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> Soit $\|\cdot\|$ la norme de cet espace ($\|x\|^{2} = \langle x, x \rangle$)
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> On définit une **distance** $d$ sur cet espace, à partir de la [[norme]] comme :
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> $\boxed{d(x, y) = \|y - x\|}$
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^definition-depuis-une-norme
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```breadcrumbs
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title: "Sous-notes"
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type: tree
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collapse: false
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show-attributes: [field]
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field-groups: [downs]
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depth: [0, 0]
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```
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# Propriétés
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> [!info] Equivalence entre distance et norme
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> Si $\|\cdot\|$ est une norme sur $E$, alors l'application
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> $\begin{align} d :& E\times E \to \mathbb{R}\\ &(x, y) \to \|x-y\| \end{align}$
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> est une distance
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> [[démonstration qu'une norme peut former une distance|démonstration]]
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# Exemples
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> [!example] Exemple
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> Soit $X = \mathbb{R}^{2} \setminus \text{obstacles}$
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> ![[cours L3.topologie.espaces métriques et espaces vectoriels normés 2024-09-05 10.50.22.excalidraw]]
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> On peut définir $d(a, b) = \inf(\text{longueur de tous les chemins reliant } a \text{ à } b)$
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