---
up: "[[norme]]"
tags: "#s/maths/algèbre"
---

> [!definition] Distance
> Soit $X$ un ensemble
> Une application $d : X \times X \to \mathbb{R}$ est appelée **distance** ssi :
> - $\forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) = d(y, x)$ ([[relation symétrique|symétrie]])
> - $\forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) \geq 0$ toutes les distances sont positives ou nulles
> - $\forall x \in X, \quad d(x, x) = 0$
> - $\forall (x, y) \in X^{2}, \quad d(x, y) = 0 \implies x = y$ ([[espace séparé|séparation]])
> - $\forall (x, y, z) \in X^{3}, \quad d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$ ([[inégalité triangulaire]])
^definition

> [!definition] distance (définition à partir d'une [[norme]])
> Soit $(E, \langle\cdot,\cdot \rangle)$ un [[espace préhilbertien]] 
> Soit $\|\cdot\|$ la norme de cet espace ($\|x\|^{2} = \langle x, x \rangle$)
> On définit une **distance** $d$ sur cet espace, à partir de la [[norme]] comme :
> $\boxed{d(x, y) = \|y - x\|}$
^definition-depuis-une-norme

```breadcrumbs
title: "Sous-notes"
type: tree
collapse: false
show-attributes: [field]
field-groups: [downs]
depth: [0, 0]
```

# Propriétés

> [!info] Equivalence entre distance et norme
> Si $\|\cdot\|$ est une norme sur $E$, alors l'application
> $\begin{align} d :& E\times E \to \mathbb{R}\\ &(x, y) \to \|x-y\| \end{align}$
> est une distance
> [[démonstration qu'une norme peut former une distance|démonstration]]

# Exemples

> [!example] Exemple
> Soit $X = \mathbb{R}^{2} \setminus \text{obstacles}$ 
> ![[cours L3.topologie.espaces métriques et espaces vectoriels normés 2024-09-05 10.50.22.excalidraw]]
> On peut définir $d(a, b) = \inf(\text{longueur de tous les chemins reliant } a \text{ à } b)$