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distance partie d'un espace métrique	norme induite	#s/maths/algèbre

[!definition] distance induite Soit (X, d) un espace métrique Soit A une partie de X On appelle distance induite l'application d_{A} : A\times A \to \mathbb{R} définie par : \forall x, y \in A, \quad d_{A}(x, y) = d(x, y) ^definition

Propriétés

[!proposition]+ Soit (X, d) un espace métrique Soit A\subset X et d_{A} la distance induite par la restriction de d sur A Alors (A, d_{A}) est un espace métrique

Autrement dit, toute partie d'un espace métrique forme un espace métrique avec la distance induite par cette restriction ^toute-partie-forme-un-espace-metrique

[!proposition]+ Boules pour les distances induites Soit (X, d) un espace métrique Soit (Y, d) \subset (X, d) Les boules de (Y, d) sont les intersections des boules de (X, d) avec Y : B_{Y}(p, r) = Y \cap B_{X}(p, r) cela fonctionne pour les boule fermée, les boule ouverte et les sphère