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up:
  - "[[distance]]"
  - "[[partie d'un espace métrique]]"
sibling:
  - "[[norme induite]]"
tags:
  - "#s/maths/algèbre"
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> [!definition] [[distance induite]]
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> Soit $A$ une partie de $X$
> On appelle **distance induite** l'application $d_{A} : A\times A \to \mathbb{R}$ définie par :
> $\forall x, y \in A, \quad d_{A}(x, y) = d(x, y)$
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ 
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> Soit $A\subset X$ et $d_{A}$ la distance induite par la restriction de $d$ sur $A$
> Alors
> $(A, d_{A})$ est un [[espace métrique]]
> ---
> Autrement dit, toute [[partie d'un espace métrique]] forme un espace métrique avec la distance induite par cette restriction
^toute-partie-forme-un-espace-metrique

> [!proposition]+ Boules pour les distances induites
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> Soit $(Y, d) \subset (X, d)$
> Les boules de $(Y, d)$ sont les intersections des boules de $(X, d)$ avec $Y$ :
> $B_{Y}(p, r) = Y \cap B_{X}(p, r)$
> cela fonctionne pour les [[boule fermée|boules fermées]], les [[boule ouverte|boules ouvertes]] et les [[sphère|sphères]]