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alias: "dimension"
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sr-due: 2022-09-11
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sr-interval: 21
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sr-ease: 278
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up::[[espace vectoriel]]
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title::"[[cardinal d'un ensemble]] des [[base d'un espace vectoriel|bases]] de d'un [[espace vectoriel|ev]]"
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#s/maths/algèbre
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Soit $E$ un [[espace vectoriel]].
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On sait que $E$ admet une [[base d'un espace vectoriel|base]].
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**Toutes les bases de $E$ on le même [[cardinal d'un ensemble]]**.
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Ce cardinal commun est appelé _dimension_ de $E$.
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# Propriétés
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- $\{0_E\}$ est un espace vectoriel de dimension 0
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- toute [[famille de vecteurs génératrice|famille génératrice]] $G$ de $E$ vérifie $\mathrm{card} G \geq \dim E$
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. toute [[famille de vecteurs libre|famille libre]] $L$ de $E$ vérifie $\mathrm{card} L \leq \dim E$
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- $G$ est une [[base d'un espace vectoriel|base]] de $E$ $\iff$ $\mathrm{card} G = \dim E$
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- si $H$ est un [[sous espace vectoriel|sev]] de $E$, alors $\dim H \leq \dim E$
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- si $H$ Est un [[sous espace vectoriel|sev]] de $E$, alors $\dim H = \dim E \;\;\iff\;\; H = E$
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