cours/degré d'un polynôme.md

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degré	polynôme	#s/maths/analyse

[!definition] Définition Soit P un polynôme On définit \operatorname{d}(P) le degré de P par :

• si P \neq 0 alors d(P) = \max \{ n \in \mathbb{N} \mid a_{n} \neq 0 \}
• si P = 0 alors \operatorname{d}(P) = -\infty

On note aussi \operatorname{deg}(P) ^definition

[!idea] Intuition Puissance la plus haute pour laquelle le coefficient est non nul

Propriétés

[!proposition]+ degré en fonction des valeurs Soit P \in \mathbb{R}[X], on a : \mathop{deg}(P) = \lim\limits_{ x \to \infty } \dfrac{\ln|P(x)|}{\ln x}

[!idea] Généralisation à des fonctions non polynômiales Cette formule permet de généraliser aux fonctions en dehors de \mathbb{R}[X]. On a alors :

• \deg\left( x \mapsto \frac{1}{x} \right) = -1
• \deg(\sqrt{ \cdot }) = \frac{1}{2}
• \deg(\ln) = 0
• \deg(\exp) = +\infty

[!proposition]+ Degré en fonction des valeurs Soit P \in \mathbb{R}[X], on a : \deg(P) = \lim\limits_{ x \to \infty } \dfrac{xP'(x)}{P(x)}

• dem cela vient du théorème de l'hôpital

[!proposition]+ Propriétés avec + et \cdot Soit A un anneau commutatif Soient P, Q \in A[X]

1. \operatorname{deg}(P+Q) \leq \max(\operatorname{deg}(P), \operatorname{deg}(Q))
2. \operatorname{deg}(P\cdot Q) \leq \operatorname{deg}(P) + \operatorname{deg}(Q)

[!example]- Contre-exemple à l'égalité

1. dans \mathbb{R}[X] avec P = 2X et Q = -2X + 1 \operatorname{deg}(P) = 1 et \operatorname{deg}Q = 1 cependant : \operatorname{deg} (P+Q) = 0 \neq \max(\operatorname{deg} P, \operatorname{deg} Q)
2. dans \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}[X] avec P = \overline{2}X et Q = \overline{3}X PQ = 0 donc : \underbrace{\operatorname{deg}(PQ)}_{ - \infty} < \underbrace{\operatorname{deg}P}_{1} + \underbrace{\operatorname{deg}(Q)}_{1}

[!proposition]+ Le degré est un morphisme pour les anneaux commutatifs intègres Soit A un anneau commutatif anneau intègre Soient P, Q \in A[X] \boxed{\operatorname{deg}(P\cdot Q) = \operatorname{deg}(P) + \operatorname{deg}(Q)} Autrement dit, \operatorname{deg} est un morphisme de (A, \cdot) \to (A, +) pour tout A anneau commutatif anneau intègre

[!corollaire] A[X] est anneau intègre \iff A est anneau intègre En particulier, si K et un corps, alors K[X] est anneau intègre

[!démonstration]- Démonstration Soient P, Q \in A[X] $$\begin{align} PQ = 0 &\implies \operatorname{deg}(PQ) = -\infty \ &\implies \operatorname{deg}P + \operatorname{deg}Q = -\infty\ &\implies \operatorname{deg}P = -\infty \quad\text{ ou }\quad \operatorname{deg}Q = -\infty\ &\implies P = 0 \quad \text{ ou } \quad Q = 0 \end{align}$$ Réciproquement, si A[X] est anneau intègre, puisque A \subset A[X] (cf ensemble des polynômes#^ensemble-des-polynomes-anneau-commutatif) on sait alors que A est anneau intègre

[!proposition]+ Soit A un anneau commutatif anneau intègre Soit A^{*} l'ensemble des inversibles de A \boxed{P \in A[X] \text{ est inversible} \iff \exists a \in A^{*},\quad P = a}

[!info] Remarque En particulier, A[X] n'est jamais un corps (Sauf A = 0) A non anneau intègre \implies A[X] non intègre \implies A[X] n'est pas un corps A anneau intègre \implies X non inversible \implies A[X] n'est pas un corps

[!démonstration]- Démonstration Soit P \in A[X] anneau intègre avec P \neq 0

• S'il existe a \in A^{*} tel que P = a alors en posant Q = a^{-1} on a PQ = 1 d'où suit que P est inversible
• Réciproquement, supposons que P est inversible alors \exists Q \in A[X],\quad PQ = 1 donc 0 = \operatorname{deg}1 = \operatorname{deg}(PQ) = \operatorname{deg}P + \operatorname{deg}Q car A[X] est intègre et ainsi, \begin{cases} \operatorname{deg}P = 0\\\operatorname{deg}Q = 0 \end{cases} \implies \exists a, b \underset{\large \neq 0}{\in A},\quad P = a \wedge Q = b et donc PQ = 1 \implies ab = 1 \implies a \in A^{*}

!polynôme irréductible#^degre-1-irreductible