---
alias: [ "degré" ]
up: "[[polynôme]]"
tags: "#s/maths/analyse"
---

> [!definition] Définition
> Soit $P$ un [[polynôme]]
> On définit $\operatorname{d}(P)$ le **degré** de $P$ par :
> - si $P \neq 0$ alors $d(P) = \max \{ n \in \mathbb{N} \mid a_{n} \neq 0 \}$
> - si $P = 0$ alors $\operatorname{d}(P) = -\infty$
> 
> On note aussi $\operatorname{deg}(P)$
^definition

> [!idea] Intuition
> Puissance la plus haute pour laquelle le coefficient est non nul

# Propriétés

> [!proposition]+ degré en fonction des valeurs
> Soit $P \in \mathbb{R}[X]$, on a :
> $\mathop{deg}(P) = \lim\limits_{ x \to \infty } \dfrac{\ln|P(x)|}{\ln x}$
> > [!idea] Généralisation à des fonctions non polynômiales
> > Cette formule permet de généraliser aux fonctions en dehors de $\mathbb{R}[X]$. On a alors :
> > - $\deg\left( x \mapsto \frac{1}{x} \right) = -1$
> > - $\deg(\sqrt{ \cdot }) = \frac{1}{2}$
> > - $\deg(\ln) = 0$
> > - $\deg(\exp) = +\infty$

> [!proposition]+ Degré en fonction des valeurs
> Soit $P \in \mathbb{R}[X]$, on a :
> $\deg(P) = \lim\limits_{ x \to \infty } \dfrac{xP'(x)}{P(x)}$
> - dem cela vient du [[théorème de l'hôpital]]
> 

> [!proposition]+ Propriétés avec $+$ et $\cdot$
> Soit $A$ un [[anneau commutatif]]
> Soient $P, Q \in A[X]$
> 1. $\operatorname{deg}(P+Q) \leq \max(\operatorname{deg}(P), \operatorname{deg}(Q))$
> 2. $\operatorname{deg}(P\cdot Q) \leq \operatorname{deg}(P) + \operatorname{deg}(Q)$
> 
> 
> > [!example]- Contre-exemple à l'égalité
> > 1. dans $\mathbb{R}[X]$ avec $P = 2X$ et $Q = -2X + 1$
> >    $\operatorname{deg}(P) = 1$ et $\operatorname{deg}Q = 1$
> >    cependant : $\operatorname{deg} (P+Q) = 0 \neq \max(\operatorname{deg} P, \operatorname{deg} Q)$
> > 2. dans $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}[X]$ avec $P = \overline{2}X$ et $Q = \overline{3}X$
> >    $PQ = 0$ donc :
> >    $\underbrace{\operatorname{deg}(PQ)}_{  - \infty} < \underbrace{\operatorname{deg}P}_{1} + \underbrace{\operatorname{deg}(Q)}_{1}$

> [!proposition]+ Le degré est un morphisme pour les anneaux commutatifs intègres
> Soit $A$ un [[anneau commutatif]] [[anneau intègre|intègre]]
> Soient $P, Q \in A[X]$
> $\boxed{\operatorname{deg}(P\cdot Q) = \operatorname{deg}(P) + \operatorname{deg}(Q)}$
> Autrement dit, $\operatorname{deg}$ est un [[morphisme]] de $(A, \cdot) \to (A, +)$ pour tout $A$ [[anneau commutatif]] [[anneau intègre|intègre]]
> 
>
> > [!corollaire]
> > $A[X]$ est [[anneau intègre|intègre]] $\iff$ $A$ est [[anneau intègre|intègre]]
> > En particulier, si $K$ et un [[corps]], alors $K[X]$ est [[anneau intègre|intègre]]
> > > [!démonstration]- Démonstration
> > > Soient $P, Q \in A[X]$
> > > $$\begin{align}
> > > PQ = 0 &\implies \operatorname{deg}(PQ) = -\infty \\
> > > &\implies \operatorname{deg}P + \operatorname{deg}Q = -\infty\\
> > > &\implies \operatorname{deg}P = -\infty \quad\text{ ou }\quad \operatorname{deg}Q = -\infty\\
> > > &\implies P = 0 \quad \text{ ou } \quad Q = 0
> > > \end{align}$$
> > > Réciproquement, si $A[X]$ est [[anneau intègre|intègre]], puisque $A \subset A[X]$ (cf [[ensemble des polynômes#^ensemble-des-polynomes-anneau-commutatif|notation]]) on sait alors que $A$ est [[anneau intègre|intègre]]

> [!proposition]+ 
> Soit $A$ un [[anneau commutatif]] [[anneau intègre|intègre]]
> Soit $A^{*}$ l'ensemble des inversibles de $A$
> $\boxed{P \in A[X] \text{ est inversible} \iff \exists a \in A^{*},\quad P = a}$
> 
> > [!info] Remarque
> > En particulier, $A[X]$ n'est jamais un corps (Sauf $A = 0$)
> > $A$ non [[anneau intègre|intègre]] $\implies$ $A[X]$ non intègre $\implies$ $A[X]$ n'est pas un [[corps]]
> > $A$ [[anneau intègre|intègre]] $\implies$ $X$ non inversible $\implies$ $A[X]$ n'est pas un [[corps]]
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $P \in A[X]$ [[anneau intègre|intègre]] avec $P \neq 0$
> > - S'il existe $a \in A^{*}$ tel que $P = a$
> >   alors en posant $Q = a^{-1}$ on a $PQ = 1$ d'où suit que $P$ est inversible
> > - Réciproquement, supposons que $P$ est inversible
> >   alors $\exists Q \in A[X],\quad PQ = 1$
> >   donc $0 = \operatorname{deg}1 = \operatorname{deg}(PQ) = \operatorname{deg}P + \operatorname{deg}Q$ car $A[X]$ est intègre
> >   et ainsi, $\begin{cases} \operatorname{deg}P = 0\\\operatorname{deg}Q = 0 \end{cases} \implies \exists a, b \underset{\large \neq 0}{\in A},\quad P = a \wedge Q = b$
> >   et donc $PQ = 1 \implies ab = 1 \implies a \in A^{*}$

![[polynôme irréductible#^degre-1-irreductible]]