cours/démonstration une suite extraite d'une suite convergente converge vers la même limite.md

up:: suite extraite

On cherche à démontrer : !suite extraite#^meme-limite-suite-extraite

[!proposition]+ Lemme 1 Si \varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N} est une suite strictement croissante alors \forall n \in \mathbb{N},\quad \varphi(n) \geq n

[!démonstration]- Démonstration En effet, par récurrence sur n \in \mathbb{N} :

• comme 0 \in \mathbb{N}, on sait que \varphi(0) \in \mathbb{N} et donc \varphi(0) \geq 0
• si on a montré \varphi(n) \geq n, on a : \varphi(n+1)> \varphi(n) \geq n \varphi(n+1) > n c'est-à-dire \varphi(n+1) \geq n+1

Supposons maintenant que (x_{n})_{n} converge vers \ell. Soit \varepsilon > 0, il existe un rang N \in \mathbb{N} tel que \forall n \geq \mathbb{N},\quad d(x_{n}, \ell) < \varepsilon mais si n \geq N, alors \varphi(n) \geq \varphi(N) \geq N donc d(x_{\varphi(n)}, \ell) < \varepsilon la suite (x_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}} converge donc vers \ell