up:: [[suite extraite]]

On cherche à démontrer :
![[suite extraite#^meme-limite-suite-extraite]]

> [!proposition]+ Lemme 1
> Si $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ est une suite strictement croissante
> alors $\forall n \in \mathbb{N},\quad \varphi(n) \geq n$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > En effet, par récurrence sur $n \in \mathbb{N}$ :
> > - comme $0 \in \mathbb{N}$, on sait que $\varphi(0) \in \mathbb{N}$ et donc $\varphi(0) \geq 0$
> > - si on a montré $\varphi(n) \geq n$, on a  :
> > $\varphi(n+1)> \varphi(n) \geq n$
> > $\varphi(n+1) > n$
> > c'est-à-dire $\varphi(n+1) \geq n+1$

Supposons maintenant que $(x_{n})_{n}$ converge vers $\ell$.
Soit $\varepsilon > 0$, il existe un rang $N \in \mathbb{N}$ tel que $\forall n \geq \mathbb{N},\quad d(x_{n}, \ell) < \varepsilon$
mais si $n \geq N$, alors $\varphi(n) \geq \varphi(N) \geq N$
donc $d(x_{\varphi(n)}, \ell) < \varepsilon$
la suite $(x_{\varphi(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ converge donc vers $\ell$