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up:: distance, norme #s/maths/algèbre
Soit E un espace vectoriel
Soit \|\cdot\| une norme sur E
Soit l'application :
\begin{align} d :& E\times E \to \mathbb{R}\\ &(x, y) \mapsto \|x -y\| \end{align}
On cherche à montrer que d est une distance.
\forall x, y \in E, \quad d(x, y) = \|x-y\| \geq 0 donc d est bien positive
\forall x, y \in E on a :
\begin{align} d(x, y) =0 &\iff \|x-y\| = 0_{\mathbb{R}} \\ &\iff x - y = 0_{E} \\ &\iff x = y \end{align}
Donc la séparation est bien vérifiée (\forall x, y \in E, \quad d(x, y) = 0 \implies x = y) et un point est bien à distance nulle de lui-même (\forall x, y \in E, \quad x = y \implies d(x, y) = 0)
\forall x, y \in E on a :
\begin{align} d(y, x) &= \|y-x\| \\&= \|(-1)(x-y)\| \\&= |-1|\cdot\|x-y\| & \text{homogénéité} \\&= \|x-y\| \\&= d(x, y) \end{align}
Donc d est bien symétrique
Soient x, y , z \in E
$$\begin{align}
d(x, z) &= |x - z| \
&= |x - y + y - z| \
&\leq |x - y| + |y - t| & \text{par l'inégalité trianglulaire}\
&\leq d(x, y) + d(y, z)
\end{align}
Donc $d$ respecte l'inégalité trianglulaire.
Alors, comme $d$ respecte les axiomes de séparation,