up:: [[distance]], [[norme]]
#s/maths/algèbre 

Soit $E$ un [[espace vectoriel]]
Soit $\|\cdot\|$ une [[norme]] sur $E$
Soit l'application :
$\begin{align} d :& E\times E \to \mathbb{R}\\ &(x, y) \mapsto \|x -y\| \end{align}$
On cherche à montrer que $d$ est une [[distance]].

$\forall x, y \in E, \quad d(x, y) = \|x-y\| \geq 0$ donc $d$ est bien positive

$\forall x, y \in E$ on a :
$\begin{align} d(x, y) =0 &\iff \|x-y\| = 0_{\mathbb{R}} \\ &\iff x - y = 0_{E}  \\ &\iff x = y \end{align}$
Donc la séparation est bien vérifiée ($\forall x, y \in E, \quad d(x, y) = 0 \implies x = y$) et un point est bien à distance nulle de lui-même ($\forall x, y \in E, \quad x = y \implies d(x, y) = 0$)

$\forall x, y \in E$ on a :
$\begin{align} d(y, x) &= \|y-x\| \\&= \|(-1)(x-y)\| \\&= |-1|\cdot\|x-y\| & \text{homogénéité} \\&= \|x-y\| \\&= d(x, y) \end{align}$
Donc $d$ est bien symétrique

Soient $x, y , z \in E$
$$\begin{align}  
d(x, z) &= \|x - z\|  \\
&= \|x - y + y - z\| \\
&\leq \|x - y\| + \|y - t\| & \text{par l'inégalité trianglulaire}\\
&\leq d(x, y)	+ d(y, z)
\end{align}
$$
Donc $d$ respecte l'inégalité trianglulaire.

Alors, comme $d$ respecte les axiomes de séparation,