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up:: [[groupe des classes modulo n premières avec n]]
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#s/maths/algèbre
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On veut montrer que $(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z})^{\times} = \{ \overline{k} \in \mathbb{Z} /n\mathbb{Z} \mid \exists u \in \mathbb{Z} /n\mathbb{Z}, \quad \overline{k} u = \overline{1} \}$
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# Inclusion $\subseteq$
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Soit $\overline{k} \in (\mathbb{Z} /n\mathbb{Z})^{\times }$
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Par hypothèse, $\mathrm{pgcd}(k, n) = 1$
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donc, par le [[théorème de Bézout]], $\exists (u, v) \in \mathbb{Z}^{2}, \quad ku+nv = 1$
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En réduisant modulo $n$, on trouve $\overline{k}\overline{u} + \cancel{\overline{n}\overline{v}}=\overline{1}$
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Donc $\overline{k}\overline{u} = 1$
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# Inclusion $\supseteq$
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Soit $\overline{k} \in \mathbb{Z} /n\mathbb{Z}$ tel que $\exists \overline{u} \in \mathbb{Z} / n\mathbb{Z}, \quad \overline{k}\overline{u} = \overline{1}$
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Ainsi $\overline{k}\overline{u} = \overline{1}$, et donc :
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$$\begin{align}
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\overline{k}\overline{u} = \overline{1} & \iff \overline{ku} - \overline{1} = \overline{0} \\
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&\iff \overline{ku - 1} = \overline{0} \\
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&\iff ku - 1 \equiv 0 [n] \\
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&\iff \exists v \in \mathbb{Z}, \quad ku - 1 = nv \\
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&\iff \exists v \in \mathbb{Z}, \quad ku - nv = 1 \\
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\end{align}
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$$
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Donc, par le [[théorème de Bézout]], $\mathrm{pgcd}(k, n) = 1$
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# Note
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Cette autre forme est utile pour montrer que $\left( (\mathbb{Z} /n\mathbb{Z})^{\times }, \times \right)$ est bien un groupe |