up:: [[groupe des classes modulo n premières avec n]]
#s/maths/algèbre 

On veut montrer que $(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z})^{\times} = \{ \overline{k} \in \mathbb{Z} /n\mathbb{Z} \mid \exists u \in \mathbb{Z} /n\mathbb{Z}, \quad \overline{k} u = \overline{1} \}$

# Inclusion $\subseteq$

Soit $\overline{k} \in (\mathbb{Z} /n\mathbb{Z})^{\times }$
Par hypothèse, $\mathrm{pgcd}(k, n) = 1$
donc, par le [[théorème de Bézout]], $\exists (u, v) \in \mathbb{Z}^{2}, \quad ku+nv = 1$

En réduisant modulo $n$, on trouve $\overline{k}\overline{u} + \cancel{\overline{n}\overline{v}}=\overline{1}$
Donc $\overline{k}\overline{u} = 1$

# Inclusion $\supseteq$
Soit $\overline{k} \in \mathbb{Z} /n\mathbb{Z}$ tel que $\exists \overline{u} \in \mathbb{Z} / n\mathbb{Z}, \quad \overline{k}\overline{u} = \overline{1}$
Ainsi $\overline{k}\overline{u} = \overline{1}$, et donc :
$$\begin{align}
\overline{k}\overline{u} = \overline{1} & \iff \overline{ku} - \overline{1} = \overline{0} \\
&\iff \overline{ku - 1} = \overline{0} \\
&\iff ku - 1 \equiv 0 [n] \\
&\iff \exists v \in \mathbb{Z}, \quad ku - 1 = nv  \\
&\iff \exists v \in \mathbb{Z}, \quad ku - nv = 1  \\
\end{align}
$$
Donc, par le [[théorème de Bézout]], $\mathrm{pgcd}(k, n) = 1$

# Note
Cette autre forme est utile pour montrer que $\left( (\mathbb{Z} /n\mathbb{Z})^{\times }, \times \right)$ est bien un groupe