cours/décomposition en produit de cycles disjoints.md

up::k-cycle, composition de permutations #s/maths/algèbre

[!proposition]+ décomposition en produit de cycles disjoints Toute permutation \sigma \in \mathfrak{S}_{n} se décompose de façon unique (à l'ordre près) en un produit de k-cycle à support d'une permutation deux-à-deux disjoints ^theoreme

[!démonstration]- Démonstration Soient A_1,\dots, A_{r} les orbites du groupe symétrique A_{i} = \mathrm{Orb}_{\sigma}(k_{i}) = \{ \sigma^{k} (k_{i}) \mid k \in \mathbb{Z} \} A_{i} \cap A_{j} = \emptyset si i \neq j \displaystyle [\![1; n]\!] = \bigsqcup_{i=1}^{r} A_{i} Pour l \in [\![1; r ]\!], on définit c_{l} \in \mathfrak{S}_{n} par c_{l}(i) = \begin{cases} \sigma(i) & \text{si } i \in A_{l} \\ i & \text{si } i \notin A_{l} \end{cases}

• Si \#A_{l} = 1 alors c_{l} = \mathrm{id}
• Si \#A_{l} = N_{l} alors on