up::[[k-cycle|cycle]], [[composition de permutations]]
#s/maths/algèbre 

> [!proposition]+ [[décomposition en produit de cycles disjoints]]
> Toute permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_{n}$ se décompose de façon **unique** (à l'ordre près) en un produit de [[k-cycle|cycles]] à [[support d'une permutation|supports]] deux-à-deux **disjoints**
^theoreme

> [!démonstration]- Démonstration
> Soient $A_1,\dots, A_{r}$ les [[orbites du groupe symétrique|σ-orbites]] 
> $A_{i} = \mathrm{Orb}_{\sigma}(k_{i}) = \{ \sigma^{k} (k_{i}) \mid k \in \mathbb{Z} \}$
> $A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ si $i \neq j$
> $\displaystyle [\![1; n]\!] = \bigsqcup_{i=1}^{r} A_{i}$
> Pour $l \in [\![1; r ]\!]$, on définit $c_{l} \in \mathfrak{S}_{n}$ par $c_{l}(i) = \begin{cases} \sigma(i) & \text{si } i \in A_{l} \\ i & \text{si } i \notin A_{l} \end{cases}$
> - Si $\#A_{l} = 1$ alors $c_{l} = \mathrm{id}$
> - Si $\#A_{l} = N_{l}$
> alors on