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up:: [[statistiques indices de dispersion]]
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#s/maths/statistiques
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> [!definition] Définition
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> Soient $X, Y \in L^{2}$ on appelle covariance de $X$ et $Y$ :
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> $\begin{align} \operatorname{cov}(X, Y) &= \mathbb{E}((X - \mathbb{E}(X)) (Y - \mathbb{E}(Y))) \\&= \mathbb{E}(XY) - \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y) \end{align}$
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^definition
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> [!définition]
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> Soient $X$ et $Y$ deux variables
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> $$
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> \begin{align}
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> \mathrm{cov}(X, Y) &= \overline{X \cdot Y} - \overline{X} \cdot \overline{Y} \\[1em]
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> &= \overline{(X-\overline{X}) \cdot (Y - \overline{Y})} \\[1em]
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> &= \sum\limits_{n}\left( \frac{ \left( X_{n} - \overline{X}\right) \cdot \left( Y_{n} - \overline{Y} \right) }{n} \right)
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> \end{align}
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> $$
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# Propriétés
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> [!proposition]+ variables non corellées
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> Si $X$ et $Y$ sont indépendantes
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> Alors $\operatorname{cov}(X, Y) = 0$
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> - i on dit alors que $X$ et $Y$ sont **non corellées**
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> - ! la réciproque n'est pas vraie : on peut avoir une covariance nulle sans que $X$ et $Y$ soient indépendantes
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > on sait que si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $\mathbb{E}(XY) = \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$
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> > D'où suit que, dans ce cas, on aie $\operatorname{cov}(X, Y) = \mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y) = 0$
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> >
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^corellation
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> [!proposition]+ Lien avec la variance
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> $\operatorname{cov}(X, X) = \mathbb{V}(X)$
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> voir [[variance]]
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> [!proposition]+ bilinéarité et symétrique
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> $\operatorname{cov}$ est une [[forme bilinéaire symétrique]]
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> - $\operatorname{cov}(X, Y) = \operatorname{cov}(Y, X)$
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> - $\operatorname{cov}(\lambda X + X', Y) = \lambda \operatorname{cov}(X, Y) + \operatorname{cov}(X', Y)$
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