up:: [[statistiques indices de dispersion]]
#s/maths/statistiques 


> [!definition] Définition
> Soient $X, Y \in L^{2}$  on appelle covariance de $X$ et $Y$ :
> $\begin{align} \operatorname{cov}(X, Y) &= \mathbb{E}((X - \mathbb{E}(X)) (Y - \mathbb{E}(Y))) \\&= \mathbb{E}(XY) - \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y) \end{align}$
^definition

> [!définition] 
> Soient $X$ et $Y$ deux variables
> $$
> \begin{align}
> \mathrm{cov}(X, Y) &= \overline{X \cdot Y} - \overline{X} \cdot \overline{Y} \\[1em]
> &= \overline{(X-\overline{X}) \cdot (Y - \overline{Y})} \\[1em]
> &= \sum\limits_{n}\left( \frac{ \left( X_{n} - \overline{X}\right) \cdot \left( Y_{n} - \overline{Y} \right) }{n} \right) 
> \end{align}
> $$

# Propriétés

> [!proposition]+ variables non corellées
> Si $X$ et $Y$ sont indépendantes
> Alors $\operatorname{cov}(X, Y) = 0$
> - i on dit alors que $X$ et $Y$ sont **non corellées**
> - ! la réciproque n'est pas vraie : on peut avoir une covariance nulle sans que $X$ et $Y$ soient indépendantes
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > on sait que si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $\mathbb{E}(XY) = \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$
> > D'où suit que, dans ce cas, on aie $\operatorname{cov}(X, Y) = \mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y) = 0$
> > 
^corellation

> [!proposition]+  Lien avec la variance
> $\operatorname{cov}(X, X) = \mathbb{V}(X)$
> voir [[variance]]

> [!proposition]+ bilinéarité et symétrique
> $\operatorname{cov}$ est une [[forme bilinéaire symétrique]]
> - $\operatorname{cov}(X, Y) = \operatorname{cov}(Y, X)$
> - $\operatorname{cov}(\lambda X + X', Y) = \lambda \operatorname{cov}(X, Y) + \operatorname{cov}(X', Y)$