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up:
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- "[[structure algébrique]]"
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- "[[anneau]]"
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tags: "#s/maths/algèbre"
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> [!definition] Corps
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> Un ensemble $K$ muni de deux lois $+$ et $\times$ est un _corps_ ssi :
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> - $(K, +)$ est un [[groupe abélien]]
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> - $+$ est [[associativité|associative]], [[commutativité|commutative]]
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> - $0$ est l'[[élément neutre]] pour $+$
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> - tous les éléments sont [[éléments inversibles|symétrisables]] par $+$
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> - $(K^{*}, \times)$ est un [[groupe]] ($K^{*} = K \setminus \{ 0 \}$)
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> - $\times$ est [[associativité|associative]]
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> - $1$ est l'élément neutre pour $\times$
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> - tous les éléments de $K^{*}$ sont [[éléments inversibles|symétrisables]] par $\times$
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> - ! $0$ n'est pas inversible par $\times$
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> - $\times$ est [[distributivité|distributive]] sur $+$ (à droite et à gauche)
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> - $\forall (x; a; b) \in K^{3}, \quad x \times (a+b) = (a+b)\times x = (x \times a) + (x \times b)$
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^definition
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> [!definition] Corps - définition depuis un anneau
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> Soit $(A, +, \times)$ un [[anneau]]
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> $(A, +, \times)$ est un **corps** si
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> $\forall a \in A \setminus \{ 0 \},\quad \exists b \in A \setminus \{ 0 \},\quad ab = ba = 1_{A}$
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> Un tel $b$ est noté $a^{-1}$
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```breadcrumbs
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title: "Sous-notes"
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type: tree
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collapse: false
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show-attributes: [field]
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field-groups: [downs]
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depth: [0, 0]
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```
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# Propriétés
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> [!proposition]+ Idéaux d'un corps
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> Soit $(K, +, \cdot)$ un corps
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> Ses seuls [[idéaux d'un anneau|idéaux]] sont $\{ 0 \}$ et $K$
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > - $\{ 0 \}$ et $K$ sont des [[idéaux d'un anneau|idéaux]] de $K$
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> > - Si $I \neq \{ 0 \}$ est un idéal de $K$
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> > Donc $\exists p \in I,\quad p \neq 0$
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> > Soit $a \in K$
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> > $a = \underbrace{a p ^{-1}}_{\in K}\underbrace{p}_{\in I}$
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> > or, $I$ est [[ensemble absorbant|absorbant]], donc $a \in I$
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> > de là suit que $K \subset I$ et donc que $K = I$
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> >
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> > Ainsi, les seuls idéaux de $K$ sont bien $\{ 0 \}$ et $K$
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^ideaux-dun-corps
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