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up: 
  - "[[structure algébrique]]"
  - "[[anneau]]"
tags: "#s/maths/algèbre"
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> [!definition] Corps
> Un ensemble $K$ muni de deux lois $+$ et $\times$ est un _corps_ ssi :
>  - $(K, +)$ est un [[groupe abélien]] 
>      - $+$ est [[associativité|associative]], [[commutativité|commutative]] 
>      - $0$ est l'[[élément neutre]] pour $+$
>      - tous les éléments sont [[éléments inversibles|symétrisables]]  par $+$
>  - $(K^{*}, \times)$ est un [[groupe]] ($K^{*} = K \setminus \{ 0 \}$)
>      - $\times$ est [[associativité|associative]] 
>      - $1$ est l'élément neutre pour $\times$
>      - tous les éléments de $K^{*}$ sont [[éléments inversibles|symétrisables]] par $\times$
>          - !  $0$ n'est pas inversible par $\times$
>  - $\times$ est [[distributivité|distributive]] sur $+$ (à droite et à gauche)
>      - $\forall (x; a; b) \in K^{3}, \quad x \times (a+b) = (a+b)\times x = (x \times a) + (x \times b)$
^definition

> [!definition] Corps - définition depuis un anneau
> Soit $(A, +, \times)$ un [[anneau]]
> $(A, +, \times)$ est un **corps** si 
> $\forall a \in A \setminus \{  0 \},\quad \exists b \in A \setminus \{ 0 \},\quad ab = ba = 1_{A}$
> Un tel $b$ est noté $a^{-1}$

```breadcrumbs
title: "Sous-notes"
type: tree
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show-attributes: [field]
field-groups: [downs]
depth: [0, 0]
```
# Propriétés

> [!proposition]+ Idéaux d'un corps
> Soit $(K, +, \cdot)$ un corps
> Ses seuls [[idéaux d'un anneau|idéaux]] sont $\{ 0 \}$ et $K$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - $\{ 0 \}$ et $K$ sont des [[idéaux d'un anneau|idéaux]] de $K$
> > - Si $I \neq \{ 0 \}$ est un idéal de $K$
> > Donc $\exists p \in I,\quad p \neq 0$
> > Soit $a \in K$
> > $a = \underbrace{a p ^{-1}}_{\in K}\underbrace{p}_{\in I}$ 
> > or, $I$ est [[ensemble absorbant|absorbant]], donc $a \in I$
> > de là suit que $K \subset I$ et donc que $K = I$
> > 
> > Ainsi, les seuls idéaux de $K$ sont bien $\{ 0 \}$ et $K$
^ideaux-dun-corps