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Construction

Soit A un anneau commutatif anneau intègre On pose K^{1} := A \times (A \setminus \{ 0 \}) On définit sur K^{1} une relation : \forall (a, b), (c, d) \in K^{1},\quad (a, b) \mathscr{R} (c, d) \underset{\text{déf}}{\iff} ad = bc

[!proposition]+ \mathscr{R} est une relation d'équivalence

• (a, b) \mathscr{R} (a, b) car ab = ba (puisque A est commutatif)
• (a, b) \mathscr{R} (c, d) \iff ad = bc \iff cb = da \iff (c, d) \mathscr{R} (a, b)
• \begin{cases} (a, b) \mathscr{R} (c, d)\\ (c, d) \mathscr{R}(e, f) \end{cases} \implies (a, b) \mathscr{R} (e, f) \iff be = af

Notons K = K^{1} / \mathscr{R} l'ensemble des classes d'équivalence de K^{1} par \mathscr{R} \forall \overline{(a, b)} \in K on note \overline{(a, b)} = \frac{a}{b}

[!proposition]+ opérations \overline{(a, b)} + \overline{(c, d)} \triangleq \overline{(ad + bc, bd)} Ainsi, on définit sur K les lois + et \cdot par : \displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} et \displaystyle \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

[!proposition]+ (K, +, \cdot) est un corps (K, +, \cdot) est un corps appelé corps des fractions de $A$ et noté \operatorname{Frac}(A)

[!démonstration]- Démonstration

• + est vien définie Soient \begin{cases} a, b, c, d \in A \\ a', b', c', d' \in A \end{cases} on suppose b, d, b', d' \neq 0, \frac{a}{b} = \frac{a'}{b'} et \frac{c}{d}=\frac{c'}{d'} On montre que \frac{ad+bc}{bd} = \frac{a'b'+b'c'}{b'd'} c'est-à-dire (ad+bc)b'd' = (a'd'+b'c')bd \iff adb'd' + bc b'd' = a'd'bd + b'c'bd
• on vérifie que \cdot _{K} et +_{K} sont associatives
• on vérifie que \cdot _{K} est distributive par rapport à +_{K}
• élément neutre pour +_{K} 0_{K} = \dfrac{0_{A}}{1_{A}} = \overline{(0, \alpha)} où \alpha \neq 0 \frac{0_{A}}{1_{A}}\cdot \frac{a}{b} \triangleq \frac{0_{A}a}{1_{A}b} = \frac{0_{A}}{b} = \frac{0_{A}}{1_{A}}
• élément neutre pour \cdot _{K} 1_{K} = \frac{1_{A}}{1_{A}} = \frac{a}{a} où a \neq 0
• tout élément nul est inversible Soit \frac{a}{b} \neq 0_{K} = \frac{0_{A}}{1_{A}}, c'est-à-dire a, b \neq 0 \frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a} \triangleq \frac{ab}{ab} = \frac{1_{A}}{1_{A}} = 1_{K}

[!proposition]+ L'application : \begin{align} \varphi : A &\to \operatorname{Frac}(A) \\ a &\mapsto \frac{a}{1_{A}} \end{align} est un morphisme d'anneaux injection

[!démonstration]- Démonstration \varphi(1_{A}) = \frac{1_{A}}{1_{A}} = 1_{K} \varphi(a) + \varphi(b) = \frac{a}{1_{A}} + \frac{b}{1_{A}} = \frac{a 1_{A} + b 1_{A}}{1_{A} 1_{A}} = \frac{a+b}{1_{A}} = \varphi(a+b) \varphi(ab) = \frac{a}{1_{A}}\cdot \frac{b}{1_{A}} = \frac{ab}{1_{A}} = \varphi(a)\varphi(b)

Propriétés

Exemples