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aliases: 
up:
  - "[[corps]]"
tags:
  - s/maths/algèbre
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# Construction

Soit $A$ un [[anneau commutatif]] [[anneau intègre|intègre]]
On pose $K^{1} := A \times (A \setminus \{ 0 \})$
On définit sur $K^{1}$ une relation :
$\forall (a, b), (c, d) \in K^{1},\quad (a, b) \mathscr{R} (c, d) \underset{\text{déf}}{\iff} ad = bc$

> [!proposition]+  $\mathscr{R}$ est une [[relation d'équivalence]]
> - $(a, b) \mathscr{R} (a, b)$ car $ab = ba$ (puisque $A$ est commutatif)
> - $(a, b) \mathscr{R} (c, d) \iff ad = bc \iff cb = da \iff (c, d) \mathscr{R} (a, b)$
> - $\begin{cases} (a, b) \mathscr{R} (c, d)\\ (c, d) \mathscr{R}(e, f) \end{cases} \implies (a, b) \mathscr{R} (e, f) \iff be = af$

Notons $K = K^{1} / \mathscr{R}$ l'ensemble des classes d'équivalence de $K^{1}$ par $\mathscr{R}$
$\forall \overline{(a, b)} \in K$ on note $\overline{(a, b)} = \frac{a}{b}$

> [!proposition]+ opérations
> $\overline{(a, b)} + \overline{(c, d)} \triangleq \overline{(ad + bc, bd)}$
> Ainsi, on définit sur $K$ les lois $+$ et $\cdot$ par :
> $\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$
> et
> $\displaystyle \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$

> [!proposition]+ $(K, +, \cdot)$ est un corps
> $(K, +, \cdot)$ est un [[corps]] appelé **corps des fractions de $A$** et noté $\operatorname{Frac}(A)$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - $+$ est vien définie
> > Soient $\begin{cases} a, b, c, d \in A \\ a', b', c', d' \in A \end{cases}$
> > on suppose $b, d, b', d' \neq 0$, $\frac{a}{b} = \frac{a'}{b'}$ et $\frac{c}{d}=\frac{c'}{d'}$
> > On montre que $\frac{ad+bc}{bd} = \frac{a'b'+b'c'}{b'd'}$
> > c'est-à-dire $(ad+bc)b'd' = (a'd'+b'c')bd \iff adb'd' + bc b'd' = a'd'bd + b'c'bd$
> > - on vérifie que $\cdot _{K}$ et $+_{K}$ sont associatives
> > - on vérifie que $\cdot _{K}$ est distributive par rapport à $+_{K}$
> > - élément neutre pour $+_{K}$ 
> > $0_{K} = \dfrac{0_{A}}{1_{A}} = \overline{(0, \alpha)}$ où $\alpha \neq 0$
> > $\frac{0_{A}}{1_{A}}\cdot \frac{a}{b} \triangleq \frac{0_{A}a}{1_{A}b} = \frac{0_{A}}{b} = \frac{0_{A}}{1_{A}}$
> > - élément neutre pour $\cdot _{K}$
> > $1_{K} = \frac{1_{A}}{1_{A}} = \frac{a}{a}$ où $a \neq 0$
> > - tout élément nul est inversible
> > Soit $\frac{a}{b} \neq 0_{K} = \frac{0_{A}}{1_{A}}$, c'est-à-dire $a, b \neq 0$
> > $\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a} \triangleq \frac{ab}{ab} = \frac{1_{A}}{1_{A}} = 1_{K}$
> > - 

> [!proposition]+ 
> L'application :
> $\begin{align} \varphi : A &\to \operatorname{Frac}(A) \\ a &\mapsto \frac{a}{1_{A}} \end{align}$
> est un [[morphisme d'anneaux]] [[injection|injectif]]
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $\varphi(1_{A}) = \frac{1_{A}}{1_{A}} = 1_{K}$
> > $\varphi(a) + \varphi(b) = \frac{a}{1_{A}} + \frac{b}{1_{A}} = \frac{a 1_{A} + b 1_{A}}{1_{A} 1_{A}} = \frac{a+b}{1_{A}} = \varphi(a+b)$
> > $\varphi(ab) = \frac{a}{1_{A}}\cdot \frac{b}{1_{A}} = \frac{ab}{1_{A}} = \varphi(a)\varphi(b)$

# Propriétés

# Exemples