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[!definition] Définition Soit
p \in [1, +\infty]Soit(X_n)une suite de variable aléatoire réelle dansL^{p}SoitX \in L^{p}On dit que(X_{n})converge versXdans $L^{p}$ (X_{n} \to XdansL^{p}) si :\|X_{n} - X\|_{p} \xrightarrow{n \to +\infty} 0c'est-à-dire :\mathbb{E}(|X_{n} - X|^{p}) \xrightarrow{n \to +\infty} 0^definition
Propriétés
[!proposition]+ Unicité de la limite La limite d'une suite de variables aléatoire est unique si elle existe
[!démonstration]- Démonstration Si
X_{n} \to XdansL^{p}SiX_{n} \to YdansL^{p}alors on a :\begin{align} 0 \leq \|X - Y\|_{p} &= \|X - X_{n} + X_{n} - Y\|_{p} \\&\leq \underbrace{\|X_{n} - X\|}_{\xrightarrow{n \to +\infty} 0} + \underbrace{\|X_{n} - Y\|_{p}}_{\xrightarrow{n\to +\infty}0}\end{align}D'où suit que\|X - Y\|_{p} = 0et donc queY = X
[!proposition]+ Si
1 \leq q \leq p \leq +\inftySiX_{n} \to XdansL^{p}alorsX_{n} \to XdansL^{q}
- ! La réciproque est fausse
[!démonstration]- Démonstration On sait que
\|\cdot\|_{q} \leq \|\cdot\|_{p}(voir norme p) Le reste suit immédiatement
Exemples
1.
Soit X_{n} \sim \mathcal{E}(n) de densité x \mapsto ne^{ -nx }\mathbb{1}_{\mathbb{R}^{+}}(x)
Dans L^{1}
On a \mathbb{E}(|X_{n}|) = \mathbb{E}(X_{n}) = \frac{1}{n} \xrightarrow{n \to +\infty} 0
Donc X_{n} \to 0 dans L^{1}
p \geq 1
\begin{align} \mathbb{E}(|x_{n}|^{p}) &= \mathbb{E}(X_{n}{}^{p}) \\&= \int_{0}^{+\infty} x^{p} n e^{ -nx } \, dx & \text{ par le théorème de transfert} \\&= \underbrace{\left[ -x^{p} e^{ -nx } \right]_{0}^{+\infty}}_{=0} + \frac{p}{\color{green}n} \int_{0}^{+\infty} x^{p-1} {\color{green}n} e^{ -nx } \, dx \end{align}
Ainsi \mathbb{E}(|X_{n}|^{p}) = \dfrac{p}{n} \mathbb{E}(|X_{n}|^{p-1})
Par récurrence, on obtient :
\mathbb{E}(|X_{n}|^{p}) = \dfrac{p!}{n^{p}}
Finalement :
\forall p\geq 1,\quad \mathbb{E}(|X_{n} - 0|^{p}) \xrightarrow{n \to +\infty} 0
p = +\infty
\forall n \geq 1,\quad X_{n} \notin L^{\infty}
Donc on a pas de convergence dans L^{\infty}