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  - convergence Lp
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> [!definition] Définition
> Soit $p \in [1, +\infty]$
> Soit $(X_n)$ une suite de [[variable aléatoire réelle|variables aléatoires réelles]] dans $L^{p}$
> Soit $X \in L^{p}$
> On dit que **$(X_{n})$ converge vers $X$ dans $L^{p}$** ($X_{n} \to X$ dans $L^{p}$) si :
> $\|X_{n} - X\|_{p} \xrightarrow{n \to +\infty} 0$
> c'est-à-dire :
> $\mathbb{E}(|X_{n} - X|^{p}) \xrightarrow{n \to +\infty} 0$
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ Unicité de la limite
> La limite d'une suite de variables aléatoire est unique si elle existe
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Si $X_{n} \to X$ dans $L^{p}$
> > Si $X_{n} \to Y$ dans $L^{p}$
> > alors on a :
> > $\begin{align} 0 \leq \|X - Y\|_{p} &= \|X - X_{n} + X_{n} - Y\|_{p} \\&\leq \underbrace{\|X_{n} - X\|}_{\xrightarrow{n \to +\infty} 0} + \underbrace{\|X_{n} - Y\|_{p}}_{\xrightarrow{n\to +\infty}0}\end{align}$
> > D'où suit que $\|X - Y\|_{p} = 0$ et donc que $Y = X$

> [!proposition]+ 
> Si $1 \leq q \leq p \leq +\infty$
> Si $X_{n} \to X$ dans $L^{p}$
> alors $X_{n} \to X$ dans $L^{q}$
> 
>  - ! La réciproque est fausse
>  
>  > [!démonstration]- Démonstration
>  > On sait que $\|\cdot\|_{q} \leq \|\cdot\|_{p}$ (voir [[norme p]])
>  > Le reste suit immédiatement
>  > 


# Exemples

## 1.
Soit $X_{n} \sim \mathcal{E}(n)$ de densité $x \mapsto ne^{ -nx }\mathbb{1}_{\mathbb{R}^{+}}(x)$

### Dans $L^{1}$
On a $\mathbb{E}(|X_{n}|) = \mathbb{E}(X_{n}) = \frac{1}{n} \xrightarrow{n \to +\infty} 0$
Donc $X_{n} \to 0$ dans $L^{1}$

### $p \geq 1$
$\begin{align} \mathbb{E}(|x_{n}|^{p}) &= \mathbb{E}(X_{n}{}^{p}) \\&= \int_{0}^{+\infty} x^{p} n e^{ -nx } \, dx & \text{ par le théorème de transfert} \\&= \underbrace{\left[ -x^{p} e^{ -nx } \right]_{0}^{+\infty}}_{=0} + \frac{p}{\color{green}n} \int_{0}^{+\infty} x^{p-1} {\color{green}n} e^{ -nx } \, dx  \end{align}$
Ainsi $\mathbb{E}(|X_{n}|^{p}) = \dfrac{p}{n} \mathbb{E}(|X_{n}|^{p-1})$
Par récurrence, on obtient :
$\mathbb{E}(|X_{n}|^{p}) = \dfrac{p!}{n^{p}}$

Finalement :
$\forall p\geq 1,\quad \mathbb{E}(|X_{n} - 0|^{p}) \xrightarrow{n \to +\infty} 0$

### $p = +\infty$
$\forall n \geq 1,\quad X_{n} \notin L^{\infty}$
Donc on a pas de convergence dans $L^{\infty}$