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alias: "classe"
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up: "[[dérivées successives]]"
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tags: "#s/maths/analyse"
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> [!definition] Définition
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> Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
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> Soit $n\in\mathbb N$, $f$ est de classe $C^n$ ssi :
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> - $f$ est [[fonction dérivable|dérivable]] $n$ fois sur $I$
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> - $f^{(n)}$ est [[application continue|continue]] sur $I$.
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>
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> On dit que $f$ est de classe $C^\infty$ ssi :
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> - $\forall n\in\mathbb n, f^{(n)}$ existe sur $I$ (soit : $f$ est de classe $C^n$ pour tout $n$)
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> - $\displaystyle C^\infty = \bigcap_{n>0}C^n$
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^definition
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> [!definition] Définition - pour les différentielles
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> On dit qu'une fonction $f : \Omega \subset E \to F$ est de classe $\mathscr{C}^{1}$ si elle est différentiable en tout point $x \in \Omega$ et si l'application $x \mapsto \mathrm{d}f(x)$ est [[application continue|continue]] de $\Omega$ dans $\mathcal{L}(E, F)$ l'[[espace vectoriel des applications linéaires]]
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>
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> On dit qu'un fonction $f : \Omega \subset E\to F$ est de classe $\mathscr{C}^{2}$ si $\mathrm{d}f$ est de classe $\mathscr{C}^{1}$, c'est-à-dire si :
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> $\begin{align} \Omega \subset E &\to \mathscr{L}(E, \mathscr{L}(E, F)) \\ x &\mapsto \mathrm{d}(\mathrm{d}f)(x) \end{align}$
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> est continue
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> Une fonction deux fois différentiable est donc de classe $\mathscr{C}^{2}$ si $\mathrm{d}^{2}f$ est continue de $\Omega \to \mathscr{L}(E^{2}, F)$.
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^definition-differentielles
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# Notation
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On note:
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- $C^n(I)$ l'ensemble des fonctions de classe $C^n$ sur $I$
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- $\displaystyle C^\infty(I) = \cap_{n\in\mathbb N}C^n(I)$ l'ensemble des fonctions dérivables une infinité de fois
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## Remarque
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On peut utiliser $C^{0}$ pour désigner les fonctions continues. |