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alias: "classe"
up: "[[dérivées successives]]"
tags: "#s/maths/analyse"
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> [!definition] Définition
> Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
> Soit $n\in\mathbb N$, $f$ est de classe $C^n$ ssi :
>  - $f$ est [[fonction dérivable|dérivable]] $n$ fois sur $I$
>  - $f^{(n)}$ est [[application continue|continue]] sur $I$.
> 
> On dit que $f$ est de classe $C^\infty$ ssi :
>  - $\forall n\in\mathbb n, f^{(n)}$ existe sur $I$ (soit : $f$ est de classe $C^n$ pour tout $n$)
>  - $\displaystyle C^\infty = \bigcap_{n>0}C^n$
^definition

> [!definition] Définition - pour les différentielles
> On dit qu'une fonction $f : \Omega \subset E \to F$ est de classe $\mathscr{C}^{1}$ si elle est différentiable en tout point $x \in \Omega$ et si l'application $x \mapsto \mathrm{d}f(x)$ est [[application continue|continue]] de $\Omega$ dans $\mathcal{L}(E, F)$ l'[[espace vectoriel des applications linéaires]] 
> 
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> On dit qu'un fonction $f : \Omega \subset E\to F$ est de classe $\mathscr{C}^{2}$ si $\mathrm{d}f$ est de classe $\mathscr{C}^{1}$, c'est-à-dire si :
> $\begin{align} \Omega \subset E &\to \mathscr{L}(E, \mathscr{L}(E, F)) \\ x &\mapsto \mathrm{d}(\mathrm{d}f)(x) \end{align}$
> est continue
> Une fonction deux fois différentiable est donc de classe $\mathscr{C}^{2}$ si $\mathrm{d}^{2}f$ est continue de $\Omega \to \mathscr{L}(E^{2}, F)$.
^definition-differentielles

# Notation
On note:
 - $C^n(I)$ l'ensemble des fonctions de classe $C^n$ sur $I$
 - $\displaystyle C^\infty(I) = \cap_{n\in\mathbb N}C^n(I)$  l'ensemble des fonctions dérivables une infinité de fois

## Remarque

On peut utiliser $C^{0}$ pour désigner les fonctions continues.