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- "[[cheat sheet]]"
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tags:
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- s/maths/topologie
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[[norme]] $\mathcal{N}$
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- séparation: $\mathcal{N}(x) = 0 \implies x = 0$
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- absolue homogénéité: $\mathcal{N(\lambda x)} = |\lambda| \mathcal{N(x)}$
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- inégalité triangulaire: $\mathcal{N}(x + y) \leq \mathcal{N}(x)+\mathcal{N}(y)$
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[[distance]] $d$
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- $d(x, y) = 0 \implies x = y$ (séparation)
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- $d(x, y) = d(y, x)$ (symétrie)
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- $d(x+x', y+y') \leq d(x, y) + d(x', y')$
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Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
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- [[partie ouverte d'un espace métrique|ouverts]]
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- def $O \subset X$ est ouvert ssi $\forall x \in O,\quad \exists r>0,\quad B(x, r) \subset O$
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- I tout point possède un voisinage dans O (voisinage = boule ouverte)
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- $\emptyset$ et $X$ sont des ouverts
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- Une réunion d'ouverts de $X$ est un ouvert de $X$
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- Une intersection **finie** d'ouverts de $X$ est un ouvert de $X$
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- [[partie fermée d'un espace métrique|fermés]]
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- def $F \subset X$ est fermé ssi $\forall (x_{n}) \in X^{\mathbb{N}},\quad \lim\limits_{ n \to \infty }x_{n} = \ell \in \mathbb{R} \implies$
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- $\emptyset$ et $X$ sont des fermés
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- Une intersection de fermés de $X$ est un fermé de $X$
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- Une réunion **finie** de fermés de $X$ est un fermé de $X$
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- def [[adhérence d'un espace métrique|adhérence]] :
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Soit $A \subset X$
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- $A \text{ ouvert } \iff X \setminus A \text{ fermé}$
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$V$ est un voisinage de $x$ si $\exists O \text{ ouvert},\quad x \in O \subset V$
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$\mathcal{V}(x)$ l'ensemble des voisinages de $x$
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- $V\in \mathcal{V}(x) \implies x \in V$ : tout voisinage de $x$ contient $x$
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- toute intersection **finie** de voisinage est un voisinage (une intersection infinie peut être réduite à $\{ x \}$)
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