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  - "[[cheat sheet]]"
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  - s/maths/topologie
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[[norme]] $\mathcal{N}$
- séparation: $\mathcal{N}(x) = 0 \implies x = 0$
- absolue homogénéité: $\mathcal{N(\lambda x)} = |\lambda| \mathcal{N(x)}$
- inégalité triangulaire: $\mathcal{N}(x + y) \leq \mathcal{N}(x)+\mathcal{N}(y)$
[[distance]] $d$
- $d(x, y) = 0 \implies x = y$ (séparation)
- $d(x, y) = d(y, x)$ (symétrie)
- $d(x+x', y+y') \leq d(x, y) + d(x', y')$

Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
- [[partie ouverte d'un espace métrique|ouverts]] 
    - def $O \subset X$ est ouvert ssi $\forall x \in O,\quad \exists r>0,\quad B(x, r) \subset O$
        - I tout point possède un voisinage dans O (voisinage = boule ouverte)
    - $\emptyset$ et $X$ sont des ouverts
    - Une réunion d'ouverts de $X$ est un ouvert de $X$
    - Une intersection **finie** d'ouverts de $X$ est un ouvert de $X$
- [[partie fermée d'un espace métrique|fermés]]
    - def $F \subset X$ est fermé ssi $\forall (x_{n}) \in X^{\mathbb{N}},\quad \lim\limits_{ n \to \infty }x_{n} = \ell \in \mathbb{R} \implies$
    - $\emptyset$ et $X$ sont des fermés
    - Une intersection de fermés de $X$ est un fermé de $X$
    - Une réunion **finie** de fermés de $X$ est un fermé de $X$
    - def [[adhérence d'un espace métrique|adhérence]] : 
Soit $A \subset X$
- $A \text{ ouvert } \iff X \setminus A \text{ fermé}$


$V$ est un voisinage de $x$ si $\exists O \text{ ouvert},\quad x \in O \subset V$
$\mathcal{V}(x)$ l'ensemble des voisinages de $x$
- $V\in \mathcal{V}(x) \implies x \in V$ : tout voisinage de $x$ contient $x$
- toute intersection **finie** de voisinage est un voisinage (une intersection infinie peut être réduite à $\{ x \}$)
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