3.0 KiB
aliases, up, tags
| aliases | up | tags | ||
|---|---|---|---|---|
|
|
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans un partie ouverte d'un espace métrique D \in \mathbb{R}^{d} (ie \mathbb{P}(X \in D) = 1)
Soit \varphi : D \to E un difféomorphisme avec E partie ouverte d'un espace métrique
On pose U = \varphi(X) ie : U = (U_1, \dots, U_{d}) = \varphi(X_1, \dots, x_{d})
On suppose que X admet une densité f_{X}
Soit B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^{d}) un tribu borélienne
$$\begin{align}
\mathbb{P}(U \in B) &= \mathbb{P}(\varphi(X) \in B)
\&= \mathbb{E}[\mathbb{1}{B}(\varphi(X))]
\&= \int{\mathbb{R}^{d}} \mathbb{1}{B}(\varphi(x_1, \dots x{d})) , d\mathbb{P}{X}(x_1, \dots, x{d}) & \text{par le théorème de transfert}
\&= \int_{D} \mathbb{1}{B}(\varphi(x_1, \dots, x{d}))f_{X}(x_1, \dots, x_{d}) , d_{\lambda {d}}(x_1, \dots, x{d})
\&= \int_{E} \mathbb{1}{B}(u_1, \dots, u{d}) f_{X}(\varphi ^{-1}(u_1, \dots, u_{d})) |\det J \varphi ^{-1}(u_{1}, \dots u_{d})| , d\lambda {d}(u_1, \dots, u{d}) & \text{par changement de variable}
\&& \text{où } J\varphi ^{-1}(u_1,\dots, u_{d}) = \left( \frac{ \partial \varphi {i} ^{-1}(u_1, \dots, u{d}) }{ \partial u_{j} } \right) \text{ la jacobienne }
\&= \int_{B} f_{X}(\varphi ^{-1}(u)) |\det J \varphi ^{-1}(u) | \mathbb{1}_{E}(u) , d\lambda _{d}(u)
\end{align}$$
Donc U admet pour densité :
f_{U} = f_{X}(\varphi ^{-1}(u)) |\det J (\varphi ^{-1}(u))| \mathbb{1}_{E}(u)
Exemple
Soit (X, Y) un vecteur aléatoire de loi \mathcal{U}([0, 1]^{2})
Question : quelle est la loi de XY ?
On considère (U, V) = (XY, Y) = \varphi(X, Y)
où \begin{align} \varphi : ]0, 1[^{2} &\to \Delta \\ (x, y) &\mapsto (xy, y)\end{align} où \Delta = \{ (u, v) \in ]0, 1[^{2} \mid u < v \}
!changement de variables en probabilités 2025-02-24 10.57.17.excalidraw
On a \varphi ^{-1} : \Delta \to ]0, 1[^{2}
\varphi ^{-1}(u, v) = \left( \dfrac{u}{v}, v \right)
\displaystyle J\varphi ^{-1}(u, v) = \begin{pmatrix} \frac{1}{v} & - \frac{u}{v^{2}} \\ 0 & 1\end{pmatrix} la matrice jacobienne
et le déterminant jacobien est : |\det J \varphi ^{-1}(u, v)| = \left| \dfrac{1}{v} \right|
On a donc (u, v) de densité : f_{(U, V)} (u, v) = f_{(X, Y)}\left( \frac{u}{v}, v \right) | \frac{1}{v} | \mathbb{1}_{\Delta}(u, v)
Or, f_{(X, Y)}(x, y) = \mathbb{1}_{]0, 1[}(x) \cdot \mathbb{1}_{]0, 1[}(y)
donc f_{(U, V)}(u, v) = \mathbb{1}_{]0, 1[ }\left( \frac{u}{v} \right) \mathbb{1}_{ ]0, 1[}(v) \frac{1}{v} \mathbb{1}_{]0, 1[}(u) \mathbb{1}_{]u, 1[}(v)
et donc : f_{(U, V)}(u, v) = \frac{1}{v} \mathbb{1}_{]u, 1[}(v) \mathbb{1}_{]0, 1[}(u)
Finalement : $$\begin{align} f_{U}(u) &= \int_{\mathbb{R}} f_{(U, V)}(u, v) , dv \&= \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{v} \cdot \mathbb{1}{]u, 1[}(v) \cdot \mathbb{1}{]0, 1[} (u) , dv \&= [\ln(v)]{u}^{1} \mathbb{1}{]0, 1[}(u) \&= -\ln(u) \mathbb{1}_{]0, 1[}(u) \end{align}$$
Réponse :
U = XY admet pour densité f_{U} : u \mapsto -\ln(u) \mathbb{1}_{]0, 1[}(u)