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  - "[[variable aléatoire]]"
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  - s/maths/probabilités
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Soit $X$ une [[variable aléatoire]] à valeurs dans un [[partie ouverte d'un espace métrique|ouvert]] $D \in \mathbb{R}^{d}$ (ie $\mathbb{P}(X \in D) = 1$)
Soit $\varphi : D \to E$ un [[difféomorphisme]] avec $E$ [[partie ouverte d'un espace métrique|ouvert]]
On pose $U = \varphi(X)$ ie : $U = (U_1, \dots, U_{d}) = \varphi(X_1, \dots, x_{d})$
On suppose que $X$ admet une densité $f_{X}$
Soit $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^{d})$ un [[tribu borélienne|borélien]]
$$\begin{align}
\mathbb{P}(U \in B) &= \mathbb{P}(\varphi(X) \in B)
\\&= \mathbb{E}[\mathbb{1}_{B}(\varphi(X))]
\\&= \int_{\mathbb{R}^{d}} \mathbb{1}_{B}(\varphi(x_1, \dots x_{d})) \, d\mathbb{P}_{X}(x_1, \dots, x_{d}) & \text{par le théorème de transfert}
\\&= \int_{D} \mathbb{1}_{B}(\varphi(x_1, \dots, x_{d}))f_{X}(x_1, \dots, x_{d}) \, d_{\lambda _{d}}(x_1, \dots, x_{d})
\\&= \int_{E} \mathbb{1}_{B}(u_1, \dots, u_{d}) f_{X}(\varphi ^{-1}(u_1, \dots, u_{d})) |\det J \varphi ^{-1}(u_{1}, \dots u_{d})| \, d\lambda _{d}(u_1, \dots, u_{d}) & \text{par changement de variable}
\\&& \text{où } J\varphi ^{-1}(u_1,\dots, u_{d}) = \left( \frac{ \partial \varphi _{i} ^{-1}(u_1, \dots, u_{d}) }{ \partial u_{j} }  \right)  \text{ la jacobienne }
\\&= \int_{B} f_{X}(\varphi ^{-1}(u)) |\det J \varphi ^{-1}(u) | \mathbb{1}_{E}(u) \, d\lambda _{d}(u) 
\end{align}$$
Donc $U$ admet pour densité :
$f_{U} = f_{X}(\varphi ^{-1}(u)) |\det J (\varphi ^{-1}(u))| \mathbb{1}_{E}(u)$

# Exemple

Soit $(X, Y)$ un vecteur aléatoire de loi $\mathcal{U}([0, 1]^{2})$
Question : quelle est la loi de $XY$ ?
On considère $(U, V) = (XY, Y) = \varphi(X, Y)$
où $\begin{align} \varphi : ]0, 1[^{2} &\to \Delta \\ (x, y) &\mapsto (xy, y)\end{align}$ où $\Delta = \{ (u, v) \in ]0, 1[^{2} \mid u < v \}$
![[changement de variables en probabilités 2025-02-24 10.57.17.excalidraw|600]]

On a $\varphi ^{-1} : \Delta \to ]0, 1[^{2}$
$\varphi ^{-1}(u, v) = \left( \dfrac{u}{v}, v \right)$
$\displaystyle J\varphi ^{-1}(u, v) = \begin{pmatrix} \frac{1}{v} & - \frac{u}{v^{2}} \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ la [[matrice jacobienne]]
et le [[déterminant jacobien]] est : $|\det J \varphi ^{-1}(u, v)| = \left| \dfrac{1}{v} \right|$
On a donc $(u, v)$ de densité : $f_{(U, V)} (u, v) = f_{(X, Y)}\left( \frac{u}{v}, v \right) | \frac{1}{v} | \mathbb{1}_{\Delta}(u, v)$

Or, $f_{(X, Y)}(x, y) = \mathbb{1}_{]0, 1[}(x) \cdot \mathbb{1}_{]0, 1[}(y)$
donc $f_{(U, V)}(u, v) = \mathbb{1}_{]0, 1[ }\left( \frac{u}{v} \right) \mathbb{1}_{ ]0, 1[}(v) \frac{1}{v} \mathbb{1}_{]0, 1[}(u) \mathbb{1}_{]u, 1[}(v)$
et donc : $f_{(U, V)}(u, v) = \frac{1}{v} \mathbb{1}_{]u, 1[}(v) \mathbb{1}_{]0, 1[}(u)$

Finalement :
$$\begin{align} 
f_{U}(u) &= \int_{\mathbb{R}} f_{(U, V)}(u, v) \, dv
\\&= \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{v} \cdot \mathbb{1}_{]u, 1[}(v) \cdot \mathbb{1}_{]0, 1[} (u)  \, dv
\\&= [\ln(v)]_{u}^{1} \mathbb{1}_{]0, 1[}(u)
\\&= -\ln(u) \mathbb{1}_{]0, 1[}(u)
\end{align}$$

**Réponse :**
$U = XY$ admet pour densité $f_{U} : u \mapsto -\ln(u) \mathbb{1}_{]0, 1[}(u)$