cours/centre d'un groupe.md

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centre

up:: groupe #s/maths/algèbre

[!definition] centre d'un groupe Soit G un groupe L'ensemble Z(G) := \{ g \in G \mid \forall h \in G, \quad gh = hg \} de tous les éléments qui commutent est un sous groupe commutativité appelé le centre de G On le note Z(G) ou Z_{G} ^definition

[!definition] Autrement Soit (G, *) un groupe Le centre de G est l'ensemble des élément de G qui commutativité avec tout élément de G C'est l'ensemble \left\{ x \in G \mid \forall a \in G, x*a = a*x \right\}

[!idea] Intuition Le centre d'un groupe est l'ensemble des éléments commutatif de ce groupe.

Propriétés

[!proposition]+ Le centre est un sous-groupe Le centre d'un groupe est un sous-groupe groupe abélien

[!démonstration]- Démonstration Soit G un groupe

• On a bien Z(G) \subseteq G par définition
• \forall g \in G, \quad 1_{G}g = g 1_{G} = g, donc 1_{G} \in Z(G)
• Soient z, z' \in Z(G) \begin{align} \forall g \in G, (zz')g &= z (s'g)\\&= z(gz') & \text{car } z' \in Z(G)\\ &= (zg)z'\\ &= (gz)z' & \text{car } z\in Z(G)\\ &= g(zz') \end{align} et donc zz' commute, avec g, c'est-à-dire que zz' \in Z(G)
• Soit z \in Z(G) et soit g \in G On a zg = gz, donc g = z^{-1}gz et donc gz^{-1} = z^{-1} g ainsi, on a z^{-1} \in Z(G) Donc Z(G) est stable par inversion Et donc, Z(G) est bien un sous groupe de G

^sous-groupe-abelien

[!proposition]+ Le centre est distingué Soit G un groupe Z(G) \trianglelefteq G (le centre de G est sous groupe distingué dans G)

[!démonstration]- Démonstration Z(G) = \{ z \in G \mid \forall g \in G,\quad zg = gz \} On sait que centre d'un groupe#^sous-groupe-abelien. \forall z \in Z(G), \forall g \in G,\quad gzg^{-1} = gg^{-1}z = z \in Z(G) Donc Z(G) \trianglelefteq G ^distingue