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alias: "centre"
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up:: [[groupe]] 
#s/maths/algèbre 

> [!definition] [[centre d'un groupe]]
> Soit $G$ un groupe
> L'ensemble $Z(G) := \{ g \in G \mid \forall h \in G, \quad gh = hg \}$ de tous les éléments qui commutent
> est un [[sous groupe]] [[commutativité|commutatif]] appelé le **centre** de $G$
> On le note $Z(G)$ ou $Z_{G}$
^definition

> [!definition] Autrement
> Soit $(G, *)$ un [[groupe]]
> Le _centre_ de $G$ est l'ensemble des élément de $G$ qui [[commutativité|commutent]] avec tout élément de $G$
> C'est l'ensemble $\left\{ x \in G \mid \forall a \in G, x*a = a*x \right\}$

> [!idea] Intuition
> Le centre d'un groupe est l'ensemble des éléments commutatif de ce groupe.

# Propriétés

> [!proposition]+ Le centre est un sous-groupe
> Le centre d'un groupe est un sous-groupe [[groupe abélien|abélien]]
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $G$ un groupe
> > - On a bien $Z(G) \subseteq G$ par définition
> > - $\forall g \in G, \quad 1_{G}g = g 1_{G} = g$, donc $1_{G} \in Z(G)$
> > - Soient $z, z' \in Z(G)$
> > $\begin{align} \forall g \in G, (zz')g &= z (s'g)\\&= z(gz') & \text{car } z' \in Z(G)\\ &= (zg)z'\\ &= (gz)z' & \text{car } z\in Z(G)\\ &= g(zz') \end{align}$
> > et donc $zz'$ commute, avec $g$, c'est-à-dire que $zz' \in Z(G)$
> > - Soit $z \in Z(G)$ et soit $g \in G$
> > On a $zg = gz$, donc $g = z^{-1}gz$ et donc $gz^{-1} = z^{-1} g$
> > ainsi, on a $z^{-1} \in Z(G)$
> > Donc $Z(G)$ est stable par inversion
> > Et donc, $Z(G)$ est bien un [[sous groupe]] de $G$
> > 
^sous-groupe-abelien

> [!proposition]+ Le centre est distingué
> Soit $G$ un groupe
> $Z(G) \trianglelefteq G$ (le centre de $G$ est [[sous groupe distingué|distingué]] dans $G$)
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $Z(G) = \{  z \in G \mid \forall g \in G,\quad zg = gz \}$
> > On sait que [[centre d'un groupe#^sous-groupe-abelien|le centre d'un groupe est un sous-groupe abélien]].
> > $\forall z \in Z(G), \forall g \in G,\quad gzg^{-1} = gg^{-1}z = z \in Z(G)$
> > Donc $Z(G) \trianglelefteq G$
^distingue