cours/application réciproque.md

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réciproque

up::application #s/maths/analyse

[!definition] Définition Soit f : E \to F une bijection On sait qu'elle est injection et surjection, donc \forall y \in F, \exists!x \in E, y = f(x), et on peut dire qu'il existe une application f^{-1} telle que : \begin{aligned} f^{-1}: F &\rightarrow E\\ y &\mapsto x \text{ tel que } y=f(x) \end{aligned} Cette application est appelée application réciproque ^definition

Propriétés

• f^{-1} à le même sens de variation que f.

[!proposition]+ composition de fonctions

Lorsque l'on composition de fonctions f et f^{-1}, on obtient une fonction identité :

f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_E (E \rightarrow F \rightarrow E) f^{-1}\circ f = \mathrm{id}_F (F \rightarrow E \rightarrow F)

• ! généralement, f\circ f^{-1} \neq f^{-1}\circ f, car leur ensemble de définition sont différents.

calcul de la fonction réciproque

Exemple

$$\begin{aligned} f: &\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+\ &x \mapsto x^2 \end{aligned}$$ Avec ces ensembles de départ et d'arrivée, f est bien une bijection

Exemples

Voir: fonction sinus Voir: fonction cosinus