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alias: [ "réciproque" ]
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up::[[application]]
#s/maths/analyse

> [!definition] Définition
> Soit $f : E \to F$ une [[bijection]]
> On sait qu'elle est [[injection|injective]] et [[surjection|surjective]], donc $\forall y \in F, \exists!x \in E, y = f(x)$, et on peut dire qu'il existe une [[application]] $f^{-1}$ telle que :
> $\begin{aligned} f^{-1}: F &\rightarrow E\\ y &\mapsto x \text{ tel que } y=f(x) \end{aligned}$
> Cette application est appelée **application réciproque**
^definition

# Propriétés

- $f^{-1}$ à le même sens de variation que $f$.

> [!proposition]+ [[composition de fonctions]]
> 
> Lorsque l'on [[composition de fonctions|compose]] $f$ et $f^{-1}$, on obtient une fonction identité :
> 
> $f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_E$     $(E \rightarrow F \rightarrow E)$
> $f^{-1}\circ f = \mathrm{id}_F$     $(F \rightarrow E \rightarrow F)$
> 
> - ! généralement, $f\circ f^{-1} \neq f^{-1}\circ f$, car leur [[ensemble de définition|ensembles de définition]] sont différents.

# calcul de la fonction réciproque

## Exemple
$$\begin{aligned}
f: &\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+\\
   &x \mapsto x^2
\end{aligned}$$
Avec ces ensembles de départ et d'arrivée, $f$ est bien une bijection

## Exemples
Voir: [[fonction sinus]]
Voir: [[fonction cosinus]]