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up:
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- "[[structure algébrique]]"
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tags:
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- "#s/maths/algèbre"
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aliases:
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- anneaux
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> [!definition]
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> Soit un ensemble $A$ et deux lois $+$ et $\times$
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> $(A, +, \times)$ est un **anneau** ssi :
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> - $(A, +)$ est un [[groupe abélien]]
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> - $+$ est [[associativité|associative]], [[commutativité|commutative]]
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> - il existe un [[élément neutre]] $0_{A}$ pour $+$
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> - tous les éléments sont [[éléments inversibles|symétrisables]] par $+$
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> - $(A, \times)$ est un [[monoïde]]
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> - $\times$ est [[associativité|associative]]
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> - il y a un [[élément neutre]] $1_{A}$ pour $\times$
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> - $\times$ est [[distributivité|distributive]] par rapport à $+$ (à droite et à gauche)
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> - $\forall (x; a; b) \in A, \quad x \times (a + b) = (x \times a) + (x \times b)$
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^definition
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```breadcrumbs
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title: "Sous-notes"
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type: tree
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collapse: false
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show-attributes: [field]
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field-groups: [downs]
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depth: [0, 0]
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```
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# Propriétés
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> [!proposition]+ $0$ est un élément absorbant
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> Soit $(A, +, \times)$ un anneau
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> Soit $0_{A}$ l'élement neutre pour $+$
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> $0_{A}$ est **absorbant**, c'est-à-dire que :
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> $\forall a \in A,\quad a0_{A} = 0_{A}$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > $a0_{A} = a(0_{A} + 0_{A}) = a0_{A} + a 0_{A}$
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> > d'où suite que $a 0_{A} = 0_{A}$
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# Exemples
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