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up:
  - "[[structure algébrique]]"
tags:
  - "#s/maths/algèbre"
aliases:
  - anneaux
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> [!definition] 
> Soit un ensemble $A$ et deux lois $+$ et $\times$
> $(A, +, \times)$ est un **anneau** ssi :
>  - $(A, +)$ est un [[groupe abélien]]
>      - $+$ est [[associativité|associative]], [[commutativité|commutative]]
>      - il existe un [[élément neutre]] $0_{A}$ pour $+$
>      - tous les éléments sont [[éléments inversibles|symétrisables]] par $+$
>  - $(A, \times)$ est un [[monoïde]]
>      - $\times$ est [[associativité|associative]]
>      - il y a un [[élément neutre]] $1_{A}$ pour $\times$
>  - $\times$ est [[distributivité|distributive]] par rapport à $+$ (à droite et à gauche)
>      - $\forall (x; a; b) \in A, \quad x \times (a + b) = (x \times a) + (x \times b)$
^definition

```breadcrumbs
title: "Sous-notes"
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show-attributes: [field]
field-groups: [downs]
depth: [0, 0]
```
# Propriétés

> [!proposition]+ $0$ est un élément absorbant
> Soit $(A, +, \times)$ un anneau
> Soit $0_{A}$ l'élement neutre pour $+$
> $0_{A}$ est **absorbant**, c'est-à-dire que :
> $\forall a \in A,\quad a0_{A} = 0_{A}$
> 
> > [!démonstration]- Démonstration
> > $a0_{A} = a(0_{A} + 0_{A}) = a0_{A} + a 0_{A}$
> > d'où suite que $a 0_{A} = 0_{A}$

# Exemples